Учреждение образования
«ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ»
кафедра математики и физики
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
по дисциплине
«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
для студентов уровня ССО заочной формы обучения
всех специальностей
Минск 2006
Составитель Н.Н. Чемерко
Рецензент Т.К. Гресюк
Издание утверждено на заседании кафедры М и Ф
20 марта 2006 г., протокол №8
Зав. кафедрой Л.Л. Гладков
1 Дифференциальные уравнения Задачи, приводящие к понятию дифференциальных уравнений
Задача 1.1 Составить уравнение кривой, обладающей тем свойством, что и отрезок любой касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.
Решение
Пусть
- искомое уравнение,
- точка кривой, кривая расположена в I
четверти.
Рис. 1.1
По
условию имеем
,
.
.
Но
есть угловой коэффициент касательной
в точке
и равен
.
Тогда искомое уравнение имеет вид
, (1.1)
т.к.
,
тогда
,
,
,
,
или
,
.
Задача
1.2 Найти закон движения тела, если
скорость его
м/с
и за первую секунду тело прошло путь
м.
Решение
,
,
,
,
,
;
,
; 
,
.
Ответ:
м.
Задача
1.3 Составить уравнение кривой, проходящей
через точку
,
если угловой коэффициент касательной
в каждой точке равен
.
Решение
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Ответ: .
Дифференциальным
уравнением называется уравнение,
содержащее независимую переменную
,
искомую функцию
и ее производную
, 
, … 
.
Символическая запись
. (1.2)
Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в данное уравнение.
Пример
1.1 
- дифференциальное уравнение I-го
порядка;
- дифференциальное уравнение III-го
порядка.
Уравнение первого порядка в общем виде записывается следующим образом
. (1.3)
Решая это уравнение относительно производной , получим
. (1.4)
Уравнение (1.4) называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.
Решением
дифференциального уравнения называется
всякая функция
,
которая обращает данное уравнение в
тождество.
Пример 1.2 для уравнения (1.1) решением является функция вида
,
где 
- постоянная.
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция
,
где - постоянная, удовлетворяющая данному уравнению при любом фиксированном значении.
Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего решения при фиксированных значениях произвольных постоянных.
Для того, чтобы из общего решения выделить частное, необходимо ввести начальные условия, то есть задать фиксированные значения аргумента,
и
.
Задача
нахождения частного решения
,
удовлетворяющая начальным условиям,
называется задачей
Коши.
Задача Коши ставится так:
Найти
частное решение
уравнения
,
удовлетворяющая условию
или
.
Пример
1.3 из уравнения (1.1)
.
Найти частное решение при
,
.
Решение
,
-
частное решение.
Геометрический смысл дифференциальных уравнений
Общее решение дифференциального уравнения представляет семейство кривых, называемых интегральными кривыми.
Частное решение определяет лишь одну единственную интегральную кривую.
Пример 1.4
Из
общего деления
уравнения
определяет семейство равносторонних
гипербол, асимптотами которых являются
оси координат.
Рис. 1.2
Частное
решение
определяет лишь одну гиперболу, проходящую
через точку
.