3.3.2. Оценивание погрешностей

Обобщенный алгоритм оценки погрешности МВИ приведен в РМГ 62-2003 [10, п. 5-6] и состоит в следующем (рисунок 3).

Рисунок 3 – Обобщенный алгоритм оценки погрешности МВИ

Рекомендации по расчету общей погрешности измерений.

1. Все составляющие погрешности исходно представляют с помощью одной из форм:

а) – предел абсолютной погрешности;

б) – предел относительной погрешности;

в) – предел приведенной погрешности;

г) s – стандартное отклонение.

2. Для суммирования погрешностей используют пределы относительной погрешности.

3. Для перевода к относительной форме записи погрешности следует использовать следующие выражения.

Перевод форм а) → б):

, ,

где , – измеренное и действительное значение измеряемой величины.

Перевод форм в) → б):

, , отсюда ,

где – нормирующее значение измеряемой величины – верхний предел или диапазон измерений СИ.

Перевод форм г) → б):

при P = 95 % (обычные измерения),

при P = 99 % (высокоточные измерения),

.

4. Суммируют составляющие погрешности по формуле

,

где К – число составляющих погрешности.

5. Составляющая j-я погрешности признается существенной, если квадрат ее относительной погрешности больше 20% от квадрата общей относительной погрешности, т.е.

.

6. Получение дополнительной информации о существенных составляющих погрешности строится на более детальном рассмотрении этих составляющих.

7. Для обработки результатов и оценки погрешности прямых многократных и однократных измерений, а также косвенных измерений можно использовать соответственно ГОСТ 8.207-76 [12], Р 50.2.038-2004 [13] и МИ 2083-90 [14].

В качестве примера рассмотрим порядок обработки результатов прямых многократных измерений (выписка из ГОСТ 8.207-76 [12]).

1. Устранить влияние анормальных результатов наблюдений в случае их присутствия. Для этих целей можно использовать критерий Шовене (см. ниже).

2. За результат измерения принять среднее значение результатов N наблюдений:

.

3. Вычислить стандартное отклонение результата измерений

.

4. Определить принадлежность результатов наблюдений к нормальному закону распределения. Для этих целей можно воспользоваться критерием Пирсона или ² (см. ниже).

5. Вычислить доверительный интервал для случайной составляющей погрешности

.

При этом взять доверительную вероятность P = 95%. Здесь t – переменная распределения Стьюдента.

6. Вычислить не исключенную систематическую погрешность результата измерения , которая образуется из не исключенных составляющих метода, средств и субъекта измерений и вычисляется как

,

где _I – i-я не исключенная систематическая составляющая;

M – число составляющих погрешности.

7. Вычислить доверительный интервал общей погрешности результата измерения.

Если , то общая погрешность равна  = .

Если , то общая погрешность принимается равной  = .

Если оба неравенства не выполняются, то общую погрешность результата находят по формуле

,

где К – коэффициент, зависящий от соотношения случайной и неисключенной систематической погрешностей, – оценка суммарного среднеквадратического отклонения результата измерения

, .

8. Записать результат измерений в виде  , P.

При отсутствии данных о виде функции распределения составляющих погрешности результат измерений можно представить в виде , s, N, , P.

Критерий Шовене предназначен для анализа анормальных результатов измерений. Допустим, что результат одного или нескольких измерений значительно расходится со всеми остальными (анормальный результат). Необходимо решить, что это:

- следствие ошибки и данный результат измерений должен быть отброшен;

- законный результат, который должен рассматриваться наряду с другими.

Например, проведено N = 6 измерений и получены следующие результаты:

3,8

3,5

3,9

3,9

3,4

1,8.

Видно, что значение 1,8 сильно отличается от остальных, и мы должны решить, что с ним делать: исключить или рассматривать наряду с другими.

Порядок использования критерия Шовене.

1. Вычисляем среднее значение и стандартное отклонение s. Получим соответственно = 3,4 и s = 0,8.

2. Вычисляем число стандартных отклонений, на которое подозрительный результат отличается от среднего значения

.

3. Предположим, что результаты измерений подчиняются нормальному закону распределения (рисунок 4), что справедливо в большинстве случаев.

Определяем по таблице вероятность того, что любой единичный результат измерений будет лежать вне ±v_под стандартных отклонений от среднего значения. Имеем в нашем случае для v_под = 2 значение P = 5 %.

±vпод	0	1	2	3
P, %	0	32	5	1

4. Находим вероятность появления результата измерений, столь же плохого, как подозрительное значение. Так как проведено не одно, а N измерений, то получим

%.

5. Если полученное значение вероятности меньше 50%, то подозрительное значение следует отбросить. Таким образом, результат 1,8 следует исключить из дальнейших расчетов.

Рисунок 4 – Вероятность распределения результатов единичных

измерений в рамках нормального закона

Критерий Пирсона или ² используют для проверки согласия наблюдаемого распределения результатов измерений с теоретическим. Допустим, проведено N = 25 измерений некоторой величины и получены следующие результаты:

9,9	11,3	9,9	9,6	8,6	11,1	12,5	10,4	6,8
10,0	10,5	10,4	10,2	7,5	10,7	8,3	11,8	10,4
	10,5	13,1	8,4	11,9	9,3	9,6	8,1

Необходимо проверить, подчиняются ли полученные результаты измерений нормальному закону распределения. Для сравнения воспользуемся теоретическим процентным распределением результатов измерений, приведенным на рисунке 4.

Порядок использования критерия Пирсона.

1. Находим среднее значение и стандартное отклонение результатов измерений. Получим соответственно =10,0 и s = 1,5.

2. Разбиваем диапазон возможных значений результатов измерений на несколько бинов (интервалов). Для простоты ограничимся разбиением на 4 бина, как показано в таблице.

Номер бина, k	1	2	3	4
Значения в бине	x < – s x < 8,5	– s < x < 8,5 < x < 10	< x < + s 10 < x < 11,5	x > + s x > 11,5
Практическое число наблюдений в бине, Оk	5	7	9	4
Теоретическая вероятность попадания в бин, Рк %	16	34	34	16
Теоретическое число наблюдений в бине, Ek	4	8,5	8,5	4

3. Подсчитываем число результатов измерений, которые попадают в каждый бин O_k.

4. Находим, согласно рисунку 4, что теоретические вероятности попадания результатов измерений в соответствующие бины будут равны 16; 34; 34 и 16%.

5. Рассчитываем теоретическое число попаданий результатов измерений в каждый из бинов E_k :

.

6. Определим, насколько хорошо теоретические значения попаданий E_k согласуются с соответствующими наблюдаемыми значениями O_k. Для оценки степени согласия вычисляется число, называемое ² :

,

где К – число бинов.

7. Если ² = 0, то согласие идеальное, что практически невероятно. На практике считают, что если ² ≤ К, то практическое и теоретическое распределения согласуются.

В нашем примере получим

,

т.е. приведенные результаты измерений подчиняются нормальному закону распределения.