Рух по колу

Розглянемо, як окремий випадок криволінійного руху рівномірний рух матеріальної точки по колу радіуса з центром (рис. 1.1.5). При цьому швидкість руху точки залишається сталою за величиною, а змінюється за напрямом. Нехай за малий проміжок часу матеріальна точка перемістилась з точки траєкторії в точку . Зміна швидкості за напрямом при цьому характеризуватиметься вектором , який визначаємо паралельним перенесенням і відкладенням з точки вектора (рис. 1.5). Трикутник і трикутник зі сторонами , , - подібні. З їхньої подібності маємо:

= або = . (1.1.25)

Поділивши обидві частини на і перейшовши до границі, дістанемо:

= або = . (1.1.26)

Звідси маємо:

= . (1.1.27)

Оскільки при кут , то і вектор буде перпендикулярним до вектора швидкості в точці траєкторії ( ), тобто напрямленим по радіусу до центра. Таке прискорення називатимемо доцентровим. Отже, при рівномірному русі матеріальної точки по колу тангенціального прискорення немає, а повне прискорення дорівнює доцентровому.

3. Кінематика обертального руху

При обертальному русі твердого тіла навколо нерухомої осі всі його точки описують кола, центри яких лежать на осі обертання (рис. 1.1.6). Проведемо через вісь обертання дві площини 1 і 2. Одну з них (2) жорстко зв’яжемо з тілом, а другу (1) вважатимемо нерухомою. Обертання тіла навколо осі можна задати за допомогою кута між цими площинами. Якщо за проміжки часу тіло здійснило обертання на кут , то границю, до якої прямує відношення при , називають миттєвою кутовою швидкістю, або просто кутовою швидкістю.

= = = . (1.1.28)

Обертання тіла із сталою кутовою швидкістю називатимемо рівномірним. Нерівномірне обертання тіла характеризуватиме за допомогою кутового прискорення. Якщо за малий проміжок часу кутова швидкість змінилася на величину , то границя, до якої прямує відношення при , називатимемо миттєвим кутовим прискоренням, або просто прискоренням:

= = = . (1.1.29)

З урахуванням (1.1.28):

= = = . (1.1.30)

При обертальному русі всі точки твердого тіла мають однакові кутові швидкості і кутове прискорення. Кутову швидкість і кутове прискорення вимірюють:

= ; = . (1.1.31)

Співвідношення між лінійними та кутовими величинами

В становимо співвідношення між лінійною і кутовою швидкостями та лінійним і кутовим прискоренням. Довжина дуги , яку описує точка, що знаходиться на відстані від осі при обертанні на кут :

= . (1.1.32)

Поділимо цю рівність на . При матимемо:

= , або = . (1.1.33)

На основі формул (1.1.27) та (1.1.33) отримаємо, що нормальне прискорення:

= = . (1.1.34)

Тангенціальне прискорення:

= = ( )= . (1.1.35)

З рівнянь (1.1.34) та (1.1.35) видно, що як нормальне так і тангенціальне прискорення пропорційне відстані від осі обертання . Модуль повного прискорення точки тіла:

= . (1.1.36)

Отже, знаючи кутову швидкість і кутове прискорення тіла, що обертається, а також відстань від осі обертання, можна визначити величину і напрям прискорення будь-якої точки тіла. Оскільки відношення тангенціального прискорення до нормального:

= (1.1.37)

є однаковим для всіх точок тіла, то вектор повного прискорення для всіх точок тіла утворює з радіусом, проведеним до цієї точки, один і той самий кут (рис. 1.1.7).

При обертальному русі кутова швидкість і кутове прискорення визначаються однозначно тоді, коли відоме розташування в просторі осі обертанні і вказано напрям обертання навколо неї.

Оскільки лінійна швидкість і лінійне прискорення – векторні величини, а крім того між величинами , , , і існує взаємозв’язок у вигляді формул (1.1.33)-(1.1.36), то кутову швидкість і кутове прискорення доцільно визначати як вектори.

В ектор кутової швидкості зображують відрізком прямої, яка збігається з віссю обертання. Довжина цієї прямої в певному масштабі виражає величину кутової швидкості. Цей зв’язок умовились встановлювати за правилом правого гвинта: вектор кутової швидкості напрямлений вздовж осі обертання в бік поступального руху гвинта, коли його обертати за напрямом обертання (рис. 1.1.8). Такий вектор називають осьовим або аксіальним. Оскільки кутова швидкість є вектор, то зміна кутової швидкості є також вектором. Отже, кутове прискорення – також вектор, який збігається за напрямом з вектором .

В разі, коли орієнтація осі обертання з часом не змінюється, вектор кутового прискорення при збільшення кутової швидкості збігається з вектором кутової швидкості. При зменшенні кутової швидкості напрями векторів кутового прискорення і кутової швидкості протилежні. Запишемо співвідношення (1.1.33)-(1.1.36) у векторній формі. Для цього розглянемо радіус обертання точки як вектор, напрямленій від осі обертання. На основі означення векторного добутку (лекція 0.1):

=[ х ] . (1.1.38)

=[ х ] . (1.1.39)

=- . (1.1.40)

На рисунку 1.1.9 показано розташування векторів , , , , , . Знак мінус у формулі (1.1.40) вказує на те, що нормальне прискорення напрямлене по радіусу до центра. Введення векторів кутової швидкості і кутового прискорення є доцільним також тому, що у разі, коли тіло одночасно бере участь у двох обертаннях, його результуюче обертання характеризується саме цими векторами, які дістанемо завдяки додаванню за правилом паралелограма. Приклад розглянутий у [5] на стор. 16.

Обертання характеризується також періодом обертання і частотою обертання . Період обертання – час, протягом якого тіло робіть повний оберт навколо осі обертання, а частота (лінійна частота) – кількість обертів, які здійснює тіло за одиницю часу. Між періодом і частотою обертання існує простий зв’язок:

= . (1.1.41)

Оскільки за період тіло здійснює повний поворот на кут = , то:

= = . (1.1.42)

Лектор Дворник О.В. стор. 10 з 10