2. Швидкість і прискорення

Швидкість

Основними кінематичними величинами, що характеризують рух точки, є швидкість і прискорення. Якщо матеріальна точка за певний проміжок часу здійснила переміщення , то фізичну величину, що визначається відношенням переміщення до проміжку часу, за який відбулося переміщення, називатимемо середньою швидкістю:

= . (1.1.7)

Оскільки вектор переміщення не повністю відображує характер руху, введемо поняття миттєвої швидкості¹ - фізична величина, що визначається границею, до якої наближається середня швидкість, за умови, коли проміжок часу :

= = = . (1.1.8)

Отже, миттєва швидкість² – векторна величина, яка дорівнює першій похідній від вектора переміщення за часом і напрямлена по дотичній до траєкторії в бік руху. При прямолінійному русі вектор швидкості напрямлений вздовж траєкторії. Миттєва швидкість – це швидкість точки в даний момент часу або в даній точці траєкторії. Вона визначає зміну координат з часом. Вектор швидкості, як і будь-який вектор, можна виразити через його проекції на координатні осі:

= + + . (1.1.9)

= = = , відповідно = , = . (1.1.10)

Значення модуля вектора швидкості:

= . (1.1.11)

Якщо матеріальна точка приймає участь одразу у декількох рухах із різними миттєвими швидкостями, то повна швидкість точки дорівнюватиме векторній сумі окремих швидкостей. Це так зване правило додавання швидкостей, яке ввів ще Галілей, воно є наслідком принципу незалежності рухів:

= . (1.1.12)

Якщо траєкторія руху матеріальної точки і рівняння її руху відомі, то значення миттєвої швидкості визначається першою похідною від шляху (скалярна величина) за часом:

= . (1.1.13)

На практиці часто користуються скалярною середньою величиною швидкості, яка визначається відношенням пройденого шляху до часу проходження:

= . (1.1.13а)

Рух, при якому величина і напрям вектора швидкості з часом не змінюється, називають рівномірним і прямолінійним. Швидкість в СІ вимірюють такими одиницями:

= . (1.1.14)

Але на практиці користуються км/год, у морській справі – вузлами (1 вузол = 1 морській милі/год = 1,853 км/год), у реактивній авіації – махами (1 М = 1200 км/год). Існують спеціальні прилади, за допомогою яких безпосередньо вимірюють швидкість руху тіл. Наприклад, швидкість руху автомобіля вимірюють спідометром.

Зверніть увагу на те, що введене поняття середньої швидкості – це не середнє арифметичне, а середнє за часом. Якщо за проміжок часу швидкість руху була , а за інтервал вона дорівнювала , то середня за часом швидкість:

= . (1.1.15)

Якщо б у формулі (1.1.15) замість і ми користувалися відповідно величинами і , то дістали б швидкість, усереднену за відстанню. Таким поняттям користуються у гідродинаміці. Отже, середня швидкість – це, швидкість усереднена за часом.

Прискорення

При русі матеріальної точки її швидкість у загальному випадку може змінюватися як за величиною, так і за напрямом. Зміну швидкості за часом характеризують фізичною величиною, яку називають прискоренням. Повна зміна швидкості за час :

= . (1.1.16)

Величину, що визначається відношенням змін швидкості до часу , за який ця зміна відбулася, називатимемо середнім прискоренням:

= . (1.1.17)

Оскільки середнє прискорення не повністю відображує характер руху матеріальної точки, то вводять ще поняття миттєвого прискорення, тобто прискорення в даний момент часу або прискорення в даній точці траєкторії. Миттєве значення прискорення визначається границею, до якої прямує величина при :

= = = , або = = . (1.1.18)

= + + , або = + + (1.1.18а)

Я кщо матеріальна точка рухається із сталим прискоренням, то такий рух називають рівнозмінним. Прискорення – векторна величина. Вектор напрямлений у той бік, куди напрямлений вектор зміни швидкості . Прискорення вимірюють одиницями:

= . (1.1.19)

Р озглянемо випадок, коли траєкторія руху матеріальної точки – плоска крива лінія (рис. 1.1.3). Нехай у момент часу матеріальна точка в точці траєкторії мала швидкість , а в момент часу в точці траєкторії – швидкість . Зробимо паралельне перенесення векторів і на окремий рисунок (рис. 1.1.4), з якого видно, що при криволінійному русі вектор прискорення завжди напрямлений у бік угнутості траєкторії, оскільки напрям визначається напрямом вектора . Вектор можна розкласти на дві взаємно перпендикулярні складові:

• - вздовж вектора , яку називатимемо тангенціальною;

• - вздовж нормалі до вектора , яку називатимемо нормальною.

За означенням миттєве прискорення:

= = + = + . (1.1.20)

де і - відповідно тангенціальна та нормальна складові повного прискорення.

Тангенціальне прискорення характеризує зміну швидкості за величиною і напрямлене по дотичній в даній точці траєкторії. Нормальне , або доцентрове прискорення характеризує зміну швидкості за напрямом і напрямлене вздовж миттєвого радіуса кривизни до центра.

Модуль і напрям повного прискорення в даній точці траєкторії визначаються так:

= , (1.1.21)

= , (1.1.22)

де - кут між вектором прискорення і дотичною до траєкторії руху матеріальної точки в даний момент часу (рис. 1.4). Тангенціальне і нормальне прискорення можуть бути ознаками різних рухів:

• = - рівнозмінний рух;

• , - рівномірний криволінійний рух;

• , = - рівномірний рух по колу і т.д.

(1.1.24)