Херсонський державний технічний університет Кафедра загальної та прикладної фізики

КІНЕМАТИКА Лекція 1.1.

Елементи кінематики.

Швидкість і прискорення.

Кінематика обертального руху.

М абуть, астрономія була першою з природничих наук, з якої почалося природознавство. Окрім того, грандіозні споруди давніх держав (храми, фортеці, піраміди, обеліски) вимагали хоча б емпіричних знань будівничої механіки та статики. Під час будівництв застосовували прості машини: важила, катки, похилі площини. Отже, практичні потреби викликали появу наукових знань: арифметики, геометрії, алгебри, астрономії, механіки та інших природничих знань [1]. Саме з механіки ми і почнемо вивчати курс фізики. Спочатку прослідкуємо за досягненнями в механіці видатних дослідників різних часів. Давньогрецький філософ Аристотель у своїй праці „Фізика” узагальнив відомі на той час знання з механіки і звів їх в єдину систему. Проте, основний закон динаміки, який встановлює взаємозв’язок між силою і рухом, ним було сформульовано неправильно. Працями Архімеда закладено основи статики і гідростатики. Він встановив умови рівноваги важеля, про що написав у своєму творі „Про рівновагу плоских фігур”; умови рівноваги плаваючих тіл він описав в „Про плаваючі тіла”. Доречи, він (мабуть) першим з дослідників поставив перед собою задачу розрахувати кількість піщинок у Всесвіті, про що написав у „Псаммиті”. Про чисельні виноходи насправді легендарного Архімеда та пов’язані з його ім’ям легенди ви можете прочитати, наприклад в [1]. Вчені середньовіччя дотримувалися в основному поглядів Аристотеля, хоча на той час вже були здобуті нові відомості про властивості тіл. Арабський математик і астроном Біруні виміряв густину твердих тіл та рідин з досить великою точністю. Він також пояснив принцип дії артезіанського колодязя. Вражає універсальність генія Відродження Леонардо да Вінчі. Він був обізнаний з умовами рівноваги рідин різних густин у сполучених посудинах, а також з основним законом гідростатики, який відомий під назвою закону Паскаля. Він розробив теорію поширення морських хвиль. В його працях є проекти парашута, літальних апаратів. Він знав про рівність дії і протидії для окремих випадків. Значна роль в утвердженні нового світогляду, і особливо розвитку механіки належить великому вченому Галілео Галілею. Вже студентом філософського факультету Пізанського університету він відкрив закон ізохронності коливань маятника. Галілей сконструював гідростатичні терези. Досліджуючи падіння різноманітних тіл, він відкинув твердження Аристотеля про залежність швидкості падіння тіл від їхньої ваги і заклав основи динаміки. У своїй класичній праці „Бесіди і математичні доведення про дві нові галузі науки” Галілей виклав основи механіки, акустики, вчення про опір матеріалів, сформулював класичний принцип відносності, дав класифікацію рухів, визначення рівномірно-прискореного руху, миттєвої швидкості, вперше описав функціональну залежність між швидкістю і часом та швидкістю і шляхом, сформулював закон інерції, висловив думку, що повітря має вагу, розробив методику і визначив густину повітря і висунув ідею, що повітря своєю вагою створює тиск [1]. Всі наведені досягнення вражають вже тим, що вони зроблені однією людиною. Французький вчений Рене Декарт зробив великий вклад у створення нової механіки та її опису. Він чітко сформулював закон інерції і багато уваги приділив визначенню таких важливих понять, як маса, сила, тиск, удар та ін. Він вперше увів поняття кількості руху і сформулював закон його збереження. Англійський вчений сер Ісаак Ньютон сформулював основні закони класичної механіки, відкрив закон всесвітнього тяжіння, написав працю „Математичні начала натуральної філософії”. В ХVІІІ ст. в механіку впроваджують методи диференціального та інтегрального числення, що надало більш загальної форми основним закономірностям механіки і привело до удосконалення методів аналізу складних механічних явищ. Це привело до зародження теоретичної механіки, в основу якої закладено праці видатних математиків і механіків Л.Ейлера, Ж.Лагранжа, Д.Бернуллі, Ж.Д’Аламбера, М.В.Остроградського, П.Л.Чебишева, О.М.Ляпунова та багатьох інших. Новий етап розвитку механіки почався з робіт А.Ейнштейна та його попередників А.Пуанкаре, Г.Лоренца, Дж.Лармора та ін. Ці роботи являють собою узагальнення законів механіки, які включають закони руху тіл із будь-якими швидкостями, що менші від швидкості світла у вакуумі. Механіка Ньютона є окремим випадком механіки Ейнштейна (спеціальної теорії відносності).

1. Елементи кінематики

Завдання механіки полягає у вивчення різних рухів та встановленні їх законів, які дають можливість наперед передбачати потрібні рухи і конструювати механізми та машини. Спочатку виникла та розвивалась так звана класична механіка, основні закони якої були сформульовані Ньютоном. Вона вивчає рухи макроскопічних тіл, швидкості яких малі порівняно із швидкістю світла. Макроскопічні тіла – це звичайні тіла, що оточують нас, тобто тіла, які складаються з великої кількості молекул та атомів. Рухи тіл, швидкості яких близькі до швидкості світла, вивчаються у релятивістській механіці, основою якої є теорія відносності. Рухи мікроскопічних тіл (атомів, протонів, нейтронів, електронів та інших елементарних частинок) вивчає квантова механіка.

Традиційно вивчення курсу фізики починається з класичної механіки. Це зумовлено тим, що основні її питання і методи при відповідних узагальненнях використовуються у всіх інших розділах фізики. Щодо підходу вивчення механічних рухів механіку поділяють на:

• кінематику, яка вивчає змину положення тіл або їхніх частин у просторі або в часі без урахування взаємодії з іншими тілами;

• динаміку – це основний розділ механіки, в якому встановлюються закони механічних рухів у зв’язку з тими механічними взаємодіями тіл, які ведуть до зміни їх механічних станів;

• статику, яка вивчає умови рівноваги тіл. Її закони можна вивести із законів динаміки, тому статику розглядають як окремий випадок динаміки.

Оскільки поняття простору і часу – категорії філософські, то фізика тільки встановлює властивості, притаманні саме їм. На основі дослідних даних у фізиці вважається, що властивості простору і часу не залежать від наявності матеріальних тіл, що простір - тривимірний, однорідний, неперервний та ізотропний.

Однорідність простору означає, що в будь-якому його місці фізичні явища при однакових умовах відбуваються однаково. Ізотропність простору означає, що повертання системи взаємодіючих тіл на деякий кут не впливає на перебіг фізичних процесів. Класична фізика вважає, що час також однорідний, неперервний і не залежить від наявності матеріальних тіл.

Об’єктами вивчення механіки є не реальні тіла в усій їх багатогранності, а ідеалізовані об’єкти – моделі - це деякий уявний образ явища, що спирається на відомі поняття і дозволяє побудувати корисну аналогію:

• матеріальна точка;

• абсолютно тверде тіло;

• ідеальна рідина, тощо.

Такі наукові абстракції дають можливість зосередити дослідження на з’ясуванні основних законів механічного руху, опускаючи другорядні деталі явищ, а також дають можливість використовувати математичний апарат при вивченні механічних рухів. За видом об’єктів дослідження механіку поділяють на:

• механіку матеріальної точки;

• механіку твердого тіла;

• механіку суцільних середовищ (гідродинаміку, газодинаміку, теорію пружності).

Матеріальна точка – найпростіший об’єкт, рух якого вивчає механіка - макроскопічне тіло, розмірами якого в даному випадку можна нехтувати, маса якого зосереджена в одній геометричній точці. Поняття про те, коли реальне тіло можна вважати матеріальною точкою, залежить не стільки від самого тіла, скільки від характеру руху, а також від змісту тих запитань, на які необхідно отримати відповіді. Абсолютні розміри тіла не відіграють ні якої ролі. Важливими є відносні розміри, тобто відношення розмірів тіла до деяких відстаней, характерних для конкретної задачі. Одне і те саме тіло в одних умовах можна вважати матеріальною точкою, в інших – ні. Так, вивчаючи рух Землі навколо Сонця, Землю можна вважати матеріальною точкою, оскільки її діаметр становить 0,0001 радіуса земної орбіти. Тіло протяжних розмірів можна замінити матеріальною точкою в тих випадках, коли важливими є не розміри і форма тіла, і його маса. Механіка однієї матеріальної точки в класичній фізиці є основою для вивчення механіки взагалі, оскільки макроскопічне тіло, або систему тіл, можна уявити як сукупність малих тіл, кожне з яких можна вважати матеріальною точкою.

РУХ МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ. ВЕКТОР ПЕРЕМІЩЕННЯ [3-5,7]

Положення точок у просторі можна характеризувати різними способами, згідно з якими можна описувати і рух точки.

Координатний спосіб опису руху

При русі матеріальної точки відносно системи відліку кожному моменту часу відповідатимуть певні значення її координат. Рух матеріальної точки можна визначити за умови, якщо відома функціональна залежність її координат від часу:

, , . (1.1.1)

З допомогою функцій (1.1.1) можна обчислити значення координат матеріальної точки для будь-яких моментів часу. Отже, описати рух – значить задати функції (1.1.1).

Лінія, яку описує матеріальна точка в просторі, називається траєкторією руху. Рівняння траєкторії в явній формі можна дістати з системи рівнянь (1.1.1). Якщо траєкторія - пряма лінія, то рух називають прямолінійним; якщо ж це крива лінія, то, рух – криволінійний. Найпростішим прикладом криволінійного руху є рух матеріальної точки по колу. При цьому характер її траєкторії залежить від системи відліку. Так, точки обода колеса, що котиться по горизонтальній площині, матиме різні траєкторії відносно осі обертанні і відносно поверхні площини. У першому випадку це буде коло, у другому – циклоїда. Довжину траєкторії, яку проходить точка за проміжок часу, називатимемо шляхом.