Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1312 вуза, 5247 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Восточноукраинский национальный университет им. В. Даля
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
Лекции Тригонометрия.doc
Скачиваний:
4
Добавлен:
01.07.2025
Размер:
25.65 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

4. Формулы приведения

Формулами приведения называют формулы, с помощью которых тригонометрические функции от аргументов - , , , , приводят к тригонометрическим функциям от аргумента .

х

2

2

sin x

cos x

cos x

sin x

- sin x

- cos x

- cos x

- sin x

sin x

cos x

sin x

- sin x

- cos x

- cos x

- sin x

sin x

cos x

cos x

tg x

ctg x

- ctg x

- tg x

tg x

ctg x

- ctg x

- tg x

tg x

ctg x

tg x

- tg x

- ctg x

ctg x

tg x

- tg x

- ctg x

ctg x

  1. Вычислите с помощью формул приведения: 1) cos 2100; 2) tg .

Примеры решения задач:

  1. cos 2100 = cos (1800 + 300)= - cos300 = - ;

  2. tg = tg ( ) = - сtg = -1.

Упражнения

  1. Вычислите:

  1. sin 150;

  2. cos 150;

  3. tg 150;

  4. sin 750;

  5. cos 750;

  6. tg 750;

  7. sin 1050;

  8. cos 1050;

  9. tg 1050.

  1. Вычислите:

  1. cos 370 cos 320 – sin 370 sin 320;

  2. sin 130 cos 170 + cos 130 sin170;

  3. sin 780 cos 180 - cos 180 sin 780;

  4. cos 660 cos 60 + sin 660 sin 60;

  5. cos 200 cos 250 – sin 200 sin 250;

  6. sin 160 cos 290 + cos 160 sin 290;

  7. sin 630 cos 330 - cos 630 sin 330;

  8. cos 710 cos 260 + sin 710 sin 260;

  9. cos 180 cos 120 – sin 180 sin 120;

  10. ;

  11. ;

  12. .

  1. Замените тригонометрической функцией угла :

    1. sin ( - );

    2. cos ( + );

    3. tg ( - );

    4. ctg ( + );

    5. cos (2 - );

    6. sin (2 + );

    7. tg (1800 - );

    8. sin (1800 + );

    9. ctg (3600 - );

    10. cos (900 - );

    11. sin (2700 - );

    12. tg (2700 + );

    13. sin ( + );

    14. cos ( - );

    15. tg ( + );

    16. cos (2 + );

    17. ctg ( - );

    18. sin ( + );

    19. sin (3600 + );

    20. cos (900 + );

    21. tg (900 - ).

  1. Найдите значение выражения:

    1. sin 2400;

    2. cos (- 2400);

    3. cos 1200;

    4. cos (- 2250);

    5. sin (- 1500);

    6. sin 3300;

    7. sin 3150;

    8. sin ;

    9. cos ;

    10. tg 3000;

    11. ctg (- 2250);

    12. tg (- 2250).

  1. Вычислить:

  1. sin ( + ), если cos = - , cos = , < < , < < 2 ;

  2. sin ( + ), если sin = , cos = - , 0 < < , < < ;

  3. cos ( + ) и cos ( - ) , если sin = , sin = - , < < , < < .

  1. Упростите выражение:

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. cos2 - cos 2 ;

  6. cos 2 + sin2 ;

  1. Зная, что sin = - и что ( ; ), вычислите

    1. sin 2 ; 2) cos 2 ; 3) tg 2 ; 4) сtg 2 .

  1. Зная, что cos = - и что ( ; ), вычислите

    1. sin 2 ; 2) cos 2 ; 3) tg 2 ; 4) сtg 2 .

  1. Представьте в виде произведения:

    1. sin3 + sin ;

    2. sin - sin 5 ;

    3. cos 2x + cos 3x;

    4. cos y - cos 3y;

    5. sin 400 + sin160;

    6. sin 200 – sin 400;

    7. cos 460 – cos 740;

    8. cos 150 – cos 450;

    9. sin + sin ;

    10. cos + cos ;

    11. * sin 150 + cos 650;

    12. cos 400 – sin 160;

    13. cos 500 + sin 800;

    14. sin 400 - cos 400.

Доказательство тождеств

Занятие № _____

Тригонометрические функции. Свойства и графики тригонометрических функций

у = sin , у = cos , у = tg , у = сtg

Функция у = sin

График называется синусоида

Свойства функции у = sin

1

Область определения

(- ; + )

2

Область значений

3

Четность/нечетность, периодичность

функция у = sin нечетная (график симметричен относительно начала координат), периодическая с периодом Т = 2

4

Нули функции

у = 0 при х = k, k

5

Промежутки знако-постоянства: у > 0,

y < 0

х (2 k; +2 k), k

6

х ( +2 k; 2 + 2 k), k

7

Промежутки возрастания

х ( +2 k; + 2 k), k

8

Промежутки убывания

х ( +2 k; + 2 k), k

9

Наибольшее значение функции

ymax = 1 при х = +2 k, k

10

Наименьшее значение функции

ymin = -1 при х = +2 k, k

* - множество целых чисел

Функция у = cos

График называется косинусоида

Свойства функции у = cos

1

Область определения

(- ; + )

2

Область значений

3

Четность/нечетность, периодичность

функция у = cos четная (график симметричен относительно оси Оу), периодическая с периодом Т = 2

4

Нули функции

у = 0 при х = + k, k

5

Промежутки знако-постоянства: у > 0,

y < 0

х ( + 2 k; +2 k), k

6

х ( +2 k; + 2 k), k

7

Промежутки возрастания

х ( +2 k; 2 + 2 k), k

8

Промежутки убывания

х (2 k; + 2 k), k

9

Наибольшее значение функции

ymax = 1 при х = 2 k, k

10

Наименьшее значение функции

ymin = -1 при х = +2 k, k

* - множество целых чисел

Функция у = tg

График называется тангенсоида

Свойства функции у = tg

1

Область определения

х , k

2

Область значений

(- ; + )

3

Четность/нечетность, периодичность

функция у = tg нечетная (график симметричен относительно начала координат), периодическая с периодом Т =

4

Нули функции

у = 0 при х = k, k

5

Промежутки знако-постоянства: у > 0,

y < 0

х ( k; + k), k

6

х ( + k; k), k

7

Промежутки возрастания

х ( + k; + k), k

8

Промежутки убывания

-

9

Наибольшее значение функции

наибольшего и наименьшего значений функция не имеет

10

Наименьшее значение функции

* - множество целых чисел

Функция у = сtg

График называется котангенсоида

Свойства функции у = сtg

1

Область определения

х , k

2

Область значений

(- ; + )

3

Четность/нечетность, периодичность

функция у = tg нечетная (график симметричен относительно начала координат), периодическая с периодом Т =

4

Нули функции

у = 0 при х = + k, k

5

Промежутки знако-постоянства: у > 0,

y < 0

х ( k; + k), k

6

х ( + k; + k), k

7

Промежутки возрастания

-

8

Промежутки убывания

х ( k; + k), k

9

Наибольшее значение функции

наибольшего и наименьшего значений функция не имеет

10

Наименьшее значение функции

* - множество целых чисел

Занятие № _____

Преобразования графиков тригонометрических функций

Для построения графика функции у = f(х) + а нужно график функции у = f(х) сдвинуть вдоль оси Оу на а единиц вверх, если а > 0 , и на а единиц вниз, если а < 0.

у = sin x - 1

Для построения графика функции у = f(х + а) нужно график функции у = f(х) сдвинуть вдоль оси Ох на а единиц влево, если а > 0 , и на а единиц вправо, если а < 0.

у = sin

Для построения графика функции у =- f(х) нужно график функции у = f(х) отобразить симметрично относительно оси Ох.

у = - sin x

Для построения графика функции у = f(-х) нужно график функции у = f(х) отобразить симметрично относительно оси Оу.

у = sin(-x)

Для построения графика функции у = |f(х)| необходимо положительную часть графика у = f(х) оставить неизменной, а отрицательную часть отобразить симметрично относительно оси Ох.

у = |sin x|

Для построения графика функции у = f(|х|) можно рассмотреть соотношение:

Отсюда следует, что при х 0 необходимо строить график функции у = f(х) , а при х < 0 надо построить график, который будет симметричен для уже построенного графика относительно оси Оу.

у = sin|x|

Для построения графика функции у = kf(х), необходимо ординаты всех точек графика у = f(х) умножить на k , оставив при этом неизменными абсциссы. Причем при k > 1 график у = kf(х) получают из графика у = f(х) растяжением его от оси Ох в k раз, а при 0 < k < 1 – с помощью сжатия к оси Ох в раз. Эти деформации графика выполняют в направлениях, перпендикулярных к оси Ох .

у = 2sin x

Для построения графика функции у = f(kх), k > 0 необходимо все абсциссы графика у = f(х) разделить на k , оставив ординаты неизменными. Т.е. при k > 1 график у = f(kх) получают из графика у = f(х), сжимая его к оси Оу в k раз, а при 0 < k < 1 растягивают график у = f(х) от оси Оу в раз. Эти деформации графика выполняют в направлениях, перпендикулярных к оси Оу .

у = sin 2x

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности