Упражнения

1. Упростите выражение:

1. 1 - ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. sin cos tg ;

8. sin cos ctg - 1;

9. sin² - tg ctg ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. sin² + cos² + tg² ;

14. tg ctg + ctg² ;

15. sin ctg ;

16. cos tg ;

17. ;

18. tg ctg - 1;

19. ;

20. ;

21. 1 - sin² - cos² ;

22. (1 - cos )(1 + cos );

23. ;

24. sin² - tg сtg ;

25. 1 + sin² + cos² ;

26. cos² tg² + sin² ctg² ;

27. sin ctg - cos ;

28. (tg + ctg ) sin 2 ;

29. + ;

30. + ;

31. ctg + ;

32. tg + ;

33. ;

34. .

2. Зная значение одной из тригонометрических функций и интервал, в котором содержится , вычислите значение трех остальных тригонометрических функций:

1. cos = 0,6, 0 < < ;

2. cos = , < < ;

3. cos = , < < ;

4. ctg = - 2, < < .

5. sin = , < < ;

6. ctg = , < < .

7. sin = - , < < 2 ;

8. cos = - 0,8, < < ;

9. tg = , < < ;

10. ctg = - 0,2, < < .

Занятие № ______

Тригонометрические функции суммы и разности двух углов.

Тригонометрические функции двойного и половинного аргумента.

Формулы приведения.

1. Формулы сложения

1. Косинус разности и суммы

cos ( ) = cos cos + sin sin cos ( ) = cos cos - sin sin

2. Синус суммы и разности

sin( ) = sin cos + cos sin sin ( ) = sin cos - cos sin

3. Тангенс суммы и разности

tg ( ) = ; tg ( ) =

2. Формулы двойного аргумента

sin 2 = 2 sin cos cos2 = cos2 - sin2 = 1 - 2 sin2 = 2cos2 - 1 tg 2 =

3. Формулы половинного аргумента

sin =

cos = = , + 2 п, п

tg = , п, п ctg = = , + 2 п, п ctg = , п, п

Примеры:

1. Вычислите: 1) sin 15⁰;2) cos 15⁰; 3) tg 15⁰.

Примеры решения задач:

1) sin 15⁰ = sin (45⁰ - 30⁰) = sin 45⁰ cos 30⁰ – cos 45⁰sin 30⁰ =

= = .

2) cos 15⁰ = cos(45⁰ - 30⁰) = cos 45⁰ cos 30⁰ + sin 45⁰sin 30⁰ =

= = .

3) tg 15⁰ = tg (45⁰ - 30⁰) = = = = =

= = 2- .

2. Найдите значение выражения cos 37⁰ cos 23⁰ - sin 37⁰sin 23⁰.

Примеры решения задач:

cos 37⁰ cos 23⁰ - sin 37⁰sin 23⁰ = cos (37⁰ + 23⁰) = cos 60⁰= .

3. Упростить выражение .

Примеры решения задач:

= = = 1.

4. Вычислите: 1) cos^{2 -} sin^{2 ;} 2) sin 15⁰ cos 15⁰ .

Примеры решения задач:

1. cos^{2 -} sin² = cos (2 ) = cos = ;

2. sin 15⁰ cos 15⁰ = 2 sin 15⁰ cos 15⁰ = sin (2· 15⁰) = sin 30⁰ = .

(Заданное выражение отличается от правой части формулы синуса двойного аргумента только отсутствием двойки. Поэтому, если выражение умножить и разделить на 2, то оно не изменится.)