Глава 4. Односторонние пределы функции
Кроме
ранее рассмотренных вариантов поведения
функции при
возможны
и другие.
4.1 Односторонние пределы функции при стремлении аргумента к бесконечно удаленной точке
Функция
может вести себя различным образом в
зависимости от того,
стремится
ли аргумент к бесконечно удаленной
точке
или
.
Например,
известная функция
такова, что
Рис.14
Р
ассмотрим
один из возможных вариантов поведения
функции при стремлении аргумента к
бесконечно удаленной точке и, используя
результаты, полученные в части 2.3,
сформулируем соответствующее определение.
Пусть
при
существует
.
Рассмотрим геометрическую интерпретацию,
взяв правую часть рисунка.
Рис.15
Определение
5 остается в силе, но только для достаточно
больших положительных
значений переменной
.Откуда
следует, что
,
т.к.
.
Определение
8. Число
называется пределом функции
при
,
т.е.
,
если
для любого
найдется
,
такое что для всех
,
удовлетворяющих условию
,
выполняется неравенство
.
Или в символах:
∀ε>0
∃δ>0:
x>δ
⇒
|f(x)-A|<ε.∀ε>0 ∃δ>0: x∈Ůδ(+∞) ⇒ f(x)∈Uε(A).
Р
ассмотрим
теперь другой вариант. Пусть предел
функции равен числу А
при
,
Рис.16
Определение
9.
Предел функции
равен числу А
при
,
т.е.
,
если для любого
найдется
,
такое что для всех
,
удовлетворяющих условию
,
выполняется неравенство
.
Или в символах.
∀ε>0
∃δ>0:
x<-δ
⇒
|f(x)-A|<ε.
∀ε>0
∃δ>0:
x∈Ůδ(-∞)
⇒
f(x)∈Uε(A).
4.2 Определение односторонних пределов функции при
Рассмотрим поведение функции около точки , иллюстрация которого приведена на рис. 17.
Число , к которому стремится значение функции при приближении точки к , слева, называется левосторонним пределом этой функции, а число - ее правосторонним пределом.
Рис. 17
Чтобы
четко сформулировать определения этих
пределов, возьмем за основу определение
4 и отметим, что
при
и
при
.
Определение
10. Число
называется левосторонним пределом
функции
при
,
если для любого
найдется
,
такое что для всех
,
удовлетворяющих условию
,
выполняется неравенство
.
Символическая запись:
∀ε>0
∃δ>0:
а-δ<x<a
⇒
|f(x)-A|<ε.
Определение
11. Число
называется правосторонним пределом
функции
при
,
если для любого
найдется
,
такое что для всех
,
удовлетворяющих условию
,
выполняется неравенство
.
Символическая запись:
∀ε>0
∃δ>0:
а<x<a+δ
⇒
|f(x)-A|<ε.
Пример
32. Постройте
графическую иллюстрацию для
и сформулируйте определение этого
предела, отвечая последовательно на
поставленные вопросы.
Решение. 1) Какой из приведенных в пособии рисунков ближе всего к требуемому? (Рис.12)
2) Как преобразовать исходный рисунок, чтобы получить требуемый? (Стереть часть рисунка справа от прямой х=а. Отразить то, что останется, относительно оси ОХ.)
3) По аналогии с каким из основных определений главы 2 можно дать определение для заданного в условии предела? (Определение 6)
4) Чему
в данном случае будет равен
?
(
)
5) Чему в данном случае будет равен ?
(
,
т.к.
)
6) Сформулируйте определение и запишите его в символах.
(
∀ε>0
∃δ>0:
а-δ<x<a
⇒
f(x)<-ε.).
Вычисление односторонних пределов уже встретилось нам в примере 14. Приведем еще несколько примеров.
Пример
33. Вычислим
пределы функции
при
и
Решение.
Отметим, что
.
Поэтому
,
.
Ответ.
,
.
Пример
34. Вычислим
односторонние пределы функции
при
.
Решение.
Отметим, что
.
И тогда
,
(см.(2)).
.
Ответ.
,
.
Заметим, что в этих примерах двусторонних пределов нет.
Теорема 5 (о связи односторонних пределов с двусторонним)
Двусторонний предел существует тогда и только тогда, когда существуют оба односторонних предела, и они равны друг другу.
Задачи для самостоятельной работы
Дайте определения следующих пределов функции.
1)
.
Ответ:
∀ε>0
∃δ(ε)>0:
а-δ<x<a
⇒
f(x)>ε
2)
.
Ответ:
∀ε>0
∃δ(ε)>0:
а<x<a+δ
⇒
f(x)<-ε
3)
.
Ответ:
∀ε>0
∃δ(ε)>0:
x>δ
⇒
f(x)>ε
Вычислите следующие односторонние пределы.
1)
Ответ:
(напоминание: при x<0
|x|=-
x)
2)
,
.
Ответ:
,
3)
,
.
Ответ:
,
