3.6 Второй замечательный предел

До сих пор остались не разобранными примеры, содержащие показательные функции, логарифмы, а также пределы вида . Следующее правило (без номера) описывает простейшие ситуации такого типа, не содержащие неопределенностей.

Если и , то .

Запомните, что при выражения вида и не содержат неопределенности.

Пример 24. Вычислим .

Решение.

Полученный результат не содержит неопределенности и дает ответ на вопрос.

Ответ. .

В рассматриваемом случае могут появиться неопределенности типа В данном разделе будет рассмотрена неопределенность только одного типа Остальные требуют использования производных и будут разобраны в главе 7.

Правило 5. (Для сложно-показательных функций)

Если то для избавления от неопределенности необходимо свести задачу к вычислению второго замечательного предела, а именно

(3а)

или

, где . (3б)

Легко заметить, что формула (3б) сводится к формуле (3а) заменой . Менее заметно различие между формулой (3а) и определением числа е в п. 1.3. Это различие – не просто в букве, обозначающей аргумент. Дело в том, что х может быть вещественным числом любого знака⁴, a n – только натуральным числом.

Вообще говоря, если некоторое свойство выполняется для вещественных чисел, то оно верно и для чисел натуральных. А вот обратное справедливо далеко не всегда. Вывод формулы (3а) из определения числа е – трудная теорема.

Пример 25. Вычислим .

Решение. .

Получили комбинированную неопределенность. Избавимся сначала, используя правило 1, от неопределенности .

.

Преобразованное выражение при подстановке дает неопределенность , от которой можно избавиться, построив второй замечательный предел (См. (3б)).

Сравнив наш предел с (3), видим, что роль играет .

И тогда .

Ответ. .

Замечание. Рассмотренный в примере 25 предел позволяет сделать следующий вывод (следствие второго замечательного предела):

. (4)

Формула (4) останется справедливой, если заменить предел функции пределом последовательности.

Пример 26. Вычислим .

Решение. Подставим в функцию :

.

Получили неопределенность, от которой можно избавиться, применив правило 5, т.е. выделив второй замечательный предел. Чтобы выяснить, что в данном примере играет роль , преобразуем его следующим образом.

.

Теперь ясно, что при . Продолжим построение с полученным .

.

Ответ. .

Пример 27. Вычислим .

Решение. . Воспользуемся правилом 1, чтобы избавиться от неопределенности .

.

Далее применяем правило 5.

Заметим, что при числитель и знаменатель похожи на следствие второго замечательного предела (4). Исходя из этого, вынесем в числителе и знаменателе за скобку тройку и получим

.

Ответ. .

Пример 28. Вычислите самостоятельно, отвечая последовательно на вопросы.

Решение. 1) Что получается при непосредственной подстановке , ответ или неопределенность? (неопределенность типа )

2) Какое правило можно применить, чтобы избавиться от этой неопределенности? (правило 5)

3) Преобразуйте данное выражение так, чтобы в основании сложно-показательной функции выделилось выражение . Что играет роль ? ( )

4) Постройте второй замечательный предел. Как выглядит выражение после применения этого предела? ( )

5) Рассмотрите отдельно . Что получается при непосредственной подстановке , ответ или неопределенность, и какое правило можно применить, чтобы избавиться от этой неопределенности?

((неопределенность типа , правило 4)

6) Что необходимо предпринять, чтобы в новом пределе выделить первый замечательный предел?

(замену переменной )

7) Как будет выглядеть предел после выбранного преобразования и что получится после подстановки ?

( )

8) Что можно сделать для избавления от получившейся неопределенности? (удобнее всего воспользоваться следствием первого замечательного предела, (см.(2)), а именно при )

9) Преобразуйте необходимым образом выражение, вычислите и дайте окончательный ответ.

( )

Ответ. .

Задачи для самостоятельной работы

Вычислите следующие пределы.

13) , 14) , 15) ,

16) , 17) .

Ответы. 13) , 14) , 15) , 16) , 17) .

Помимо формулы (4), существуют и другие следствия второго замечательного предела. Они будут выведены в следующих двух примерах. Предварительно заметим, что если существует , то в силу непрерывности логарифма (теоремы 2 и 3).

Пример 29. Вычислим .

Решение. Подставим в функцию

.

Получили неопределенность, от которой нельзя избавиться известными нам способами из-за наличия в выражении логарифмической функции. Преобразуем данную функцию, используя свойство логарифмов .

.

Получили выражение, содержащее второй замечательный предел. (см.3б).

Теперь .

Ответ. .

Замечание. Обобщая результат примера 29, в котором был использован второй замечательный предел, и учитывая еще одно свойство логарифмов , получаем следствия второго замечательного предела:

.

. (5)

Пример 30. Вычислим .

Решение. Подставим в функцию

.

Получили неопределенность, от которой нельзя избавиться известными нам способами из-за наличия в выражении показательной функции. Преобразуем выражение так, чтобы появилась возможность использовать какой-либо из уже разобранных приемов. Для этого заменим числитель новой переменной .

.

Появилась возможность применить одно из следствий второго замечательного предела (см.5).

.

Ответ. .

Замечание. Получили результат, который тоже является следствием второго замечательного предела:

. (6)

Пример 31. Вычислим .

Решение. Подставим в функцию

.

Преобразуем данное выражение, используя свойства показательной и логарифмической функций, и воспользуемся известными пределами (5) и (6).

Теперь в числителе можно построить предел (6) при , а в знаменателе предел (5) при .

.

Ответ. .

Задачи для самостоятельной работы

Вычислите следующие пределы.

18) , 19) , 20)

21) , 22) .

Ответы. 18) , 19) , 20) , 21) , 22) .