3.5 Первый замечательный предел

Правило 4. (для выражений, содержащих тригонометрические функции)

Если при вычислении предела выражения, в котором содержатся тригонометрические функции, появляется неопределенность, то для избавления от нее необходимо свести задачу к вычислению первого замечательного предела, а именно

, где (1)

Пример 16. Вычислим .

Решение. При непосредственной подстановке в выражение получаем

.

Результат не содержит неопределенности.

Ответ. .

Пример 17. Вычислим (С≠0).

Решение. При непосредственной подстановке в выражение получаем - неопределенность. И так как данное выражение содержит тригонометрическую функцию, воспользуемся правилом 4 и выделим первый замечательный предел.

Преобразуем тождественно так, чтобы появилась дробь , где .

.

Ответ. .

Пример 18. Вычислим .

Решение. При непосредственной подстановке в выражение получаем .

Предел числителя не существует (см. замечание 3 в главе 2). Однако, заданный в условии предел, не содержит неопределенности, так как в нем и ограниченная величина делится на бесконечно большую. Таким образом, получаем .

Ответ. .

Пример 19. Вычислим .

Решение. При непосредственной подстановке в выражение получаем

- неопределенность и, так как данное выражение содержит тригонометрическую функцию, воспользуемся правилом 4 и выделим первый замечательный предел и в числителе, и в знаменателе.

Роль в числителе играет , а в знаменателе .

.

Ответ. .

Пример 20. Вычислим .

Решение. При непосредственной подстановке в выражение получаем - неопределенность и, так как данное выражение содержит тригонометрическую функцию, воспользуемся правилом 4 и выделим первый замечательный предел. Для этого преобразуем выражение следующим образом.

.

Ответ. .

Пример 21. Вычислите самостоятельно, отвечая последовательно на вопросы.

Решение. 1) Что получается при непосредственной подстановке , ответ или неопределенность? (неопределенность типа )

2) Какое правило можно применить, чтобы избавиться от этой неопределенности? (правило 4)

3) Выделите в данном выражении первый замечательный предел и найдите ответ. (используйте ).

Ответ. .

Пример 22. Вычислим .

Решение. При непосредственной подстановке в выражение получаем - неопределенность. Но ни к одному из рассмотренных правил данное выражение не подходит. Так как воспользоваться известными правилами не позволяет наличие функции arcsinx, заменим ее новой переменной.

. (правило 4)

Ответ. .

При решении примеров 17 и 20-22 были получены следствия первого замечательного предела, которые часто встречаются при вычислении более сложных пределов. Этими следствиями далее мы будем пользоваться как табличными.

Следствия первого замечательного предела.

1) 2)

3) 4) (2)

5) 6)

Пример 23. Вычислим .

Решение. При непосредственной подстановке в выражение получаем - неопределенность и, так как данное выражение содержит тригонометрическую функцию, воспользуемся правилом 4 и выделим первый замечательный предел. Но в данном пределе аргумент синуса не является нужной величиной , т.к. . Значит, пока выделить первый замечательный предел мы не можем. Введем новую переменную такую, чтобы она стремилась к нулю.

,

(была использована одна из формул Т3).

К новому выражению можно применить правило 4 при .

И окончательно получим .

Ответ. .

Задачи для самостоятельной работы

Вычислите следующие пределы.

7) , 8) , 9) ,

10) , 11) , 12) .

Замечание. В задачах 8 – 11 необходима новая переменная

Ответы. 7) ,8) ,9) ,10) ,11) , 12) .