3.3 Простейшие приемы вычисления пределов

Пример 6. Вычислим пределы: а) ; б) .

Решение. а) Заметим, что в точке элементарная функция непрерывна по теореме 2. И следовательно, .

б) Функция не является непрерывной при , т. к. она в этой точке не определена. Однако, при всех справедливы алгебраические тождества:

. Последняя функция уже является непрерывной при . Поэтому .

Ответ. а) 20; б) 1.

3.4 Правила вычисления пределов, содержащих различные неопределенности

При вычислении предела функции могут появиться неопределенности вида и т.д. Слово «неопределенность» означает, что результат вычислений не описывается каким-то универсальным правилом, а зависит от конкретной формулы.

Пример 7. Рассмотрим четыре предела:

.

Попытка вычислить эти пределы по теореме 1 приведет во всех случаях к неопределенности . Однако, после очевидных сокращений мы легко найдем:

не существует, т.к. при росте значения синуса колеблются от -1 до 1.

Отметим (пока без доказательства) что при замене в знаменателях х на х+1 ни один из четырех результатов не изменится, хотя ситуация станет не столь очевидной. Обсуждение примера 7 будет продолжено в п. 5.2.

Запомните, что результаты не содержат в себе неопределенности.

Правило 1.

Если при х∞ возникла неопределенность , необходимо в числителе и знаменателе вынести за скобку х в максимальной степени (если это возможно) и сократить дробь.

Пример 8. Вычислим .

Решение. Чтобы вычислить данный предел, воспользуемся теоремой 1: .

Получили неопределенность, от которой можно избавиться, используя правило 1. Из каждого множителя в числителе и знаменателе вынесем в максимальной степени.

Ответ. .

Замечание. В дальнейшем часть преобразований, связанных с использованием теорем о пределах, будем выполнять в уме.

Правило 2. (о пределе дробно-рациональной функции)

Если при ха возникла неопределенность , то необходимо в числителе и знаменателе выделить множитель и сократить дробь (т.к. и , то оба многочлена такой множитель содержат).

Пример 9. Вычислим .

Решение. Подставим в функцию и выясним, приведет это к ответу или к неопределенности.

Получили результат, который не является неопределенностью.

Ответ. .

Пример 10. Вычислим .

Решение. Подставим в функцию

. Получили неопределенность, от которой можно избавиться, применив правило 2. Выделим в числителе и знаменателе множитель . Для этого можно использовать схему Горнера (или деление «уголком»).

Числитель:

Знаменатель можно разложить следующим образом:

Теперь

Опять после подстановки получили неопределенность. Еще раз воспользуемся правилом 2.

Числитель является квадратным трехчленом вида , один корень которого известен. Используя теорему Виета, а именно то, что , найдем второй корень .

Получим

Ответ.

Пример 11. Вычислим .

Решение. Подставим в функцию .

. Получили неопределенность. Преобразуем данное выражение в рациональную дробь, приведя его к общему знаменателю.

Применяя правило 2, получим

.

Ответ. .

Правило 3. (для функций, содержащих радикалы)

Если при вычислении предела функции, содержащей иррациональность, получается неопределенность, от которой нельзя избавиться, применяя правила 1 и 2, то необходимо преобразовать задачу так, чтобы стало возможным применение этих правил 1 и 2. Для этого можно применить следующие способы:

1) ввести новую переменную, после чего все корни извлекаются;

2) тождественно преобразовывая выражение, дополнить его до одной из формул А1-А3, применение которой избавит неопределенность от корней.

Пример 12. Вычислим .

Решение. Подставим в функцию .

.

Получили неопределенность, избавиться от которой, используя правило 2 нельзя из-за наличия корней. Следуя правилу 3, сделаем замену , которая позволит избавиться одновременно от обоих корней. При этом . При стремлении х к 3 новая переменная t стремиться .

После подстановки получим .

Неопределенность, естественно, осталась, но появилась возможность применить правило 2. Разложим числитель и знаменатель новой рациональной дроби на множители и упростим выражение.

(Мы использовали формулы .)

Ответ. .

Пример 13. Вычислим .

Решение. Подставим в функцию .

.

Получили неопределенность, от которой можно будет избавиться по правилу 2 только после того, как мы уберем корень в числителе. Для этого умножим одновременно числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, т.е. на . При этом будет построена формула А1: .

Теперь используя правило 2, получим

Ответ. .

Пример 14. Вычислим .

Решение. а) При непосредственной подстановке в выражение получаем - неопределенность не рассмотренного ранее типа. Так как функция содержит корень, необходимо от него избавиться. Для этого умножим и разделим ее на сопряженное выражение.

Хотя новое выражение опять содержит корень, теперь можно избавиться от получившейся неопределенности, применив правило 1.

.

б) Этот пример³ по виду очень похож на пример а), но здесь никакой неопределенности нет: .

Ответ. а) ; б) +∞.

Пример 15. Вычислите самостоятельно , отвечая последовательно на вопросы.

Решение. 1) Что получается при непосредственной подстановке ответ или неопределенность? (неопределенность )

2) Какое правило можно применить, чтобы избавиться от этой неопределенности? (правило 3)

3) Чтобы избавиться от корня, входящего в выражение, необходима замена переменной или дополнение до формулы и какой именно?

(дополнение до формулы )

4) Преобразуйте выражение выбранным способом.

( )

5) Что получается при непосредственной подстановке в новое выражение?

(неопределенность вида )

6) Какое правило можно применить, чтобы избавиться от этой неопределенности?

(правило 1)

7) Преобразуйте выражение выбранным способом и вычислите предел.

Ответ. .

Задачи для самостоятельной работы

Вычислите следующие пределы.

1) , 2) , 3) ,

4) , 5) , 6) ,

Ответы. 1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6) .