Глава 3. Вычисление пределов

3.1 Некоторые теоремы о пределах и непрерывности функции

Все теоремы данного подпункта сформулированы для пределов функций. Однако, теоремы 1 и 3 верны и для последовательностей при n∞.

Мы ограничимся теоремами, которые позволят нам начать знакомство с техникой вычисления пределов. Разумеется, они не охватывают всего круга теорем о пределах и непрерывности, входящих в курс математического анализа.

Теорема 1. Если существуют конечные пределы и , то

Определение (VIP). Функция называется непрерывной в точке если она определена в точке .

Теорема 2. Любая элементарная функция непрерывна в каждой внутренней точке своей области определения.

Теорема 3. Пусть и функция непрерывна в точке . Тогда .

3.2 Некоторые формулы и приемы элементарной математики, используемые при вычислении пределов

Формулы сокращенного умножения

А1) ;

А2) ;

А3) .

Формулы, содержащие корни

К1) ( − несократимая дробь);

К2) .

Другие формулы с корнями сводятся к показательным формулам в силу К1).

Логарифмические формулы. Во всех формулах этого раздела a>0, a≠1, b>0.

Л1) . В частности, .

Л2) . В частности, .

Остальные логарифмические формулы приведем только для натуральных логарифмов, поскольку все вычисления можно (и рекомендуется) сводить к ним.

Л3) .

Л4) .

Л5) . В частности, .

Показательные формулы. Во всех формулах этого раздела a>0.

П1) .

П2) .

П3) .

П4) .

П5) При .

П6) .

Тригонометрические формулы. В формулах этого раздела .

Т1) .

Т2) . Используя обозначения, принятые при вычислении пределов, можно также записывать условную формулу (см. теорему 1).

Т3) Формулы четности и периодичности

sin(-α)=-sinα	;
cos(-α)= cosα	;
tg(-α)=-tgα	;
ctg(-α)=-ctgα	.

Т4) .

Т5) а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д)

е)

Т6) Основные формулы приведения сведем в таблицу.

Функция Аргумент
sin	cosα	-cosα	-sinα
cos	-sinα	sinα	-cosα
tg	-ctgα	-ctgα	tgα
ctg	- tgα	- tgα	ctgα

Например, sin(α-π/2)=-cosα. Комбинируя эти формулы с формулами Т3), можно получить более общие формулы приведения. Например, sin(π/2-α)=-sin(α-π/2)=-(-cosα)= cosα.

Схема Горнера. Часто возникает необходимость разложить на множители многочлен n-й степени, имеющий корень с. Надеемся, что читатель умеет это делать, если n =2. При произвольном n рекомендуем использовать схему Горнера, состоящую в следующем.

Пусть , и число с – корень этого многочлена. Запишем данные в таблицу.

с

Пустые клетки в нижнем ряду таблицы заполним слева направо по формулам: и т.д. При расчете без ошибок должно получиться . Остальные числа – коэффициенты многочлена , связанного с соотношением .

Пример. имеет корень с=-1 (проверьте!) Вычисления по схеме Горнера дают таблицу:

	1	4	6	4	1
-1	1	3	3	1	0

(Более подробно: 1=1, 4+1(-1)=3, 6+3(-1)=3, 4+3(-1)=1, 1+1(-1)=0.) Это означает, что .

Упражнение. Продолжите расчет и разложите на сомножители первой степени.

Ответ. .