2.4 Бесконечный предел функции

Примером функции, имеющей бесконечный предел в точке , может служить дробно-рациональная функция , у которой и Простейший пример: f(x)=1/х при xà0 (но не xà∞, как это было в примере 5!)

Запись означает в этом случае, что чем ближе значение аргумента х к а, тем функция все более возрастает (по модулю) и, какое бы большое число мы ни задали, в процессе изменения его превзойдет.

Рассмотрим графическую иллюстрацию такого поведения функции, а затем сформулируем его определение.

Так как при стремится к бесконечности, зададим сколь угодно большое и отметим его на оси ОУ, построив тем самым -окрестность бесконечно удаленной точки на оси ОУ.

Рис.12

Построим график функции и найдем точки его пересечения с прямой . На оси ОХ им соответствуют точки .Выбирая наименьшее из чисел и , обозначим его как .Очевидно, что зависит от . Выбор фиксирует на оси ОХ -окрестность точки . И если ( о знаке бесконечности пока не говорим), то любому значению х из проколотой -окрестности точки а будет соответствовать значение функции такое, что .

Если , то говорят, что функция является бесконечно большой при . (Т.е., бесконечно большая функция – то же самое, что и функция, имеющая бесконечный предел.)

Определение 6. Функция является бесконечно большой при , если для любого найдется , такое что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

В символах это определение можно записать следующим образом.

• ∀ε>0 ∃δ>0: 0<|x-a|<δ ⇒ |f(x)|>ε .

• ∀ε>0 ∃δ>0: x∈Ů_δ(a) ⇒ f(x)∈U_ε(∞).

Учитывая опыт рассмотренных случаев различного поведения функции, сформулируем теперь определение бесконечного предела функции при . .

Рассмотрим графическую иллюстрацию такого поведения функции.

Рис.13

Построим график функции и, так как , выберем сколь угодно большое число , задав таким образом -окрестность бесконечно удаленной точки на оси ОУ. Прямая пересекает график функции в точках с абсциссами и . Выбрав наибольшее из чисел и , обозначим его как , которое, конечно, зависит от заданного . Таким образом, задав , мы нашли соответствующую ему -окрестность бесконечно удаленной точки . И если , то для любой точки x∈Ů_δ(∞), значение функции окажется больше выбранного .

Определение 7. Функция является бесконечно большой при , если для любого найдется , такое что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Или в символах.

• ∀ε>0 ∃δ>0: |x|>δ ⇒ |f(x)|>ε .

• ∀ε>0 ∃δ>0: x∈Ů_δ(∞) ⇒ f(x)∈U_ε(∞).

Замечание 2. Пользуясь условной записью, можно дать обобщенное определение предела функции, которое отражает все рассмотренные случаи поведения функции в окрестности конечной или бесконечно удаленной точки.

Обобщенное определение.

∀ε>0 ∃δ>0: x∈Ů_δ(∗) ⇒ f(x)∈U_ε(∗∗)

Замечание 3. Существуют функции, вообще не имеющие пределов при данном стремлении – ни конечных, ни бесконечных. Примерами могут служить хорошо известные тригонометрические функции: sinx, cosx, tgx, ctgx – при xà∞.

Задачи для самостоятельной работы

В каждом из следующих примеров число 0 или 1 является пределом данной функции при данном стремлении. Выберите верный вариант и обоснуйте его, пользуясь соответствующим определением предела. (Т.е. укажите формулу для вычисления δ(ε).)

а) Ответ: .

б) Ответ: .

в) Ответ: «с запасом».

г) Ответ: и не зависит от ε

Напоминание: [z] – целая часть числа z, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее z.