2.2 Предел функции при Xa

Рассмотрим несколько случаев поведения функции в окрестности точки .

1) функция определена в точке и (рис.7),

2) функция не определена в точке (рис.8),

3) функция определена в точке и (рис.9).

Рис.7 Рис.8 Рис.9

Во всех рассмотренных случаях , а функция , что можно записать как .

Поведение всех графиков таково, что чем меньше х отличается от а, тем значение функции ближе к числу А. Однако, поведение функции при не является существенным. Этот факт можно сформулировать следующим образом.

Определение 4. Число называется пределом функции при , если для любого найдется , такое что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Другими словами, если аргумент х принадлежит проколотой 𝛅-окрестности точки а на оси ОХ, то значение функции f(x) принадлежит 𝛆-окрестности точки A на оси ОУ.

Геометрическая иллюстрация определения 4 представлена на рис.10.

Рис.10

Пояснения к рис.10

На оси ОУ строим окрестность точки произвольного радиуса . Прямые и пересекают график функции в точках с абсциссами и . Выберем наименьшее из чисел и и обозначим его как . Очевидно, что зависит от . Если уменьшить ε, то уменьшится и δ. Выбор фиксирует на оси ОХ -окрестность точки . И если , то взяв любой , получим значение функции , которому будет соответствовать точка на оси ОУ, обязательно принадлежащая -окрестности точки .

Отметим, что описанный выше способ выбора не является единственно возможным: всегда можно изменить в меньшую сторону. Такой подбор «с запасом» иногда позволяет обойти трудности, связанные с точным решением неравенства относительно х.

Определение 4 можно записать в символах одним из следующих способов.

• ∀ε>0 ∃δ>0: 0<|x-a|<δ ⇒ |f(x)-A|<ε.

• ∀ε>0 ∃δ>0: x∈Ů_δ(a) ⇒ f(x)∈U_ε(A).

Замечание 1. Все определения предела функции (как уже сформулированное определение 4, так и последующие) состоят из двух частей: внутренней и внешней. Внутренняя часть (синий цвет) описывает поведение аргумента функции, внешняя часть (красный цвет) – поведение значений функции.

2.3 Предел функции при X∞

Если существует число , которое является пределом функции при , то это означает, что чем больше , тем значения функции меньше отличаются от этого числа .

Р ассмотрим графическую иллюстрацию такого поведения функции, а затем сформулируем его определение.

Рис.11

Так же как в предыдущем случае построим -окрестности точки на оси ОУ, выбрав произвольно. Прямые и пересекают график функции в точках с абсциссами и . Выбрав наибольшее из чисел и , обозначим его как , которое, конечно, зависит от заданного .

На рис.11 .

Таким образом, задав , мы нашли соответствующую ему -окрестность бесконечно удаленной точки. И теперь, чем значение х ближе к бесконечности, тем меньше (т.е. различие между f(x) и числом _A).

Здесь, как и в предыдущем случае, возможен подбор δ «с запасом»; однако, изменения δ допустимы не в меньшую, а в большую сторону.

Определение 5. Число называется пределом функции при , т.е. , если для любого найдется , такое что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Или в символах:

• ∀ε>0 ∃δ>0: |x|>δ ⇒ |f(x)-A|<ε.

• ∀ε>0 ∃δ>0: x∈Ů_δ(∞) ⇒ f(x)∈U_ε(A).

Пример 5. Докажем, пользуясь определением, что .

Решение. По определению 5 , если для любого найдется , такое что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство , т.е. .

Последнее неравенство равносильно неравенству . Теперь очевидно, что требуемое по определению 5 неравенство будет выполняться, если . То есть соответствующее нашлось.

Так например, если , то и при выполняется неравенство .

А если , то и только при .

И какое бы малое мы ни выбрали, найдется такое, что для всех , удовлетворяющих условию , соответствующие им значения функции будут отличаться от меньше, чем на , что и требовалось доказать.

Функции, имеющие предел 0, – важнейший частный случай функций, имеющих конечный предел. Такие функции называются бесконечно малыми.