1.3 Число е

Вычислим (с помощью компьютера или калькулятора) значения элементов последовательности при некоторых n.

n	1	2	3	4	5	10	11	12
an	2	2,25	2,37037	2,44140	2,48852	2,59374	2,60420	2,61303
n	99	100	365	1000	10000
an	2,70468	2,70481	2,71456	2,71692	2,71814

Мы видим, что, во-первых, эта последовательность возрастает. Во-вторых, рост постепенно замедляется, и даже при очень больших n элементы последовательности не превосходят числа 2,72.

Можно строго доказать (см., например [1]), что данная последовательность сходится. Ее предел называется эйлеровым числом, или числом е, в честь математика Л.Эйлера (1707-1783).

Число е – иррациональное. Мы ограничились пятью цифрами после запятой в его разложении в бесконечную десятичную дробь.

Роль числа е и в математической теории, и в прикладных расчетах колоссальна. Например, рассмотрим процесс роста банковского вклада. Банк устанавливает по вкладам годовую ставку Р% и выплачивает проценты n раз в году. Если начисленные в середине года проценты присоединяются ко вкладу, и на них тоже начисляются проценты (так называемые сложные проценты), то к концу года первоначальная сумма вклада увеличится в раз. Нетрудно заметить сходство этой формулы с формулой из определения числа е. Позже мы покажем (см. далее пример 25 и замечание к нему), что .

На практике это означает, что при достаточно частых выплатах (например, при ежемесячных, т.е. при n=12) рост вклада за год легко рассчитать умножением первоначальной суммы на , делая при этом очень незначительную ошибку. Дальнейшее увеличение периодичности выплат (банк мог бы выплачивать проценты не ежемесячно, а ежедневно) не приведет к существенному увеличению дохода вкладчика.

Натуральный логарифм. Логарифм числа b>0 по основанию е называется натуральным логарифмом, и для него используется специальное обозначение² .

Задачи для самостоятельной работы

1. Даны несколько первых элементов числовой последовательности. Составьте выражение общего элемента .

а) Ответ:

б) Ответ: .

2. Пользуясь определением 1, докажите, что число является пределом числовой последовательности с заданным общим элементом. Найдите номер , если .

а) , . Ответ: .

б) , . Ответ: .

3. Банк выплачивает проценты ежемесячно. Какой должна быть номинальная процентная ставка, чтобы первоначальный вклад увеличился к концу года в С раз?

Ответ: P ≈ 100 lnC (приближенно);

(точно).

Глава 2. Предел функции

2.1 Окрестность точки

Рассмотрим на числовой оси ОХ точку с координатой .

Определение 2. Окрестностью точки а радиуса δ (или δ-окрестностью точки а) называется множество точек оси ОХ, расстояние от которых до данной точки меньше δ.

Высказывание: «Точка х лежит в δ-окрестности точки а» можно записать с помощью математической символики следующими четырьмя равносильными способами.

1 )

2) x∈U_δ(a)

3) ,

4) , Рис.4

Если точка а исключается из своей окрестности, то окрестность называется проколотой. Точка х лежит в проколотой δ-окрестности точки а тогда и только тогда, когда . С помощью значков теории множеств это обозначается как x∈Ů_δ(a).

Рис.5

Рассмотрим теперь «точку, бесконечно удаленную от начала координат».

Определение 3. Окрестностью радиуса бесконечно удаленной точки , принадлежащей оси ОХ, называется множество точек этой оси, расстояние от которых до начала координат больше .

Проколотая δ-окрестность для бесконечно удаленной точки совпадает с непроколотой. Попадание точки х в эту окрестность можно задать одним из следующих способов.

1) ,

2 ) x∈U_δ(∞),

3) ,

4) , Рис.6

Как видим из рис.6, бесконечно удаленная точка содержит два варианта, при которых точка может оказаться в ее окрестности. Это возможно при и при .

Аналогичным образом можно рассматривать окрестности точек (в том числе, бесконечно удаленной точки) на оси ОУ.