Глава 7. Правило Лопиталя-Бернулли

При вычислении пределов, содержащих различные неопределенности, не всегда можно воспользоваться ранее разобранными правилами. Тогда при выполнении необходимых условий можно применить правило Лопиталя-Бернулли.

В этой главе предполагается, что читатель уже знаком с таблицей производных и правилами дифференцирования. Читатель может повторить этот материал по задачнику [Ефимов, т.1], начало главы 5.

Правило 11. Если функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки , то . Т.е. предел отношения двух функций, стремящихся одновременно к нулю или к бесконечности, равен пределу отношения их производных (если последний существует).

Пример 53. Вычислим .

Решение. .

Получили неопределенность, от которой нельзя избавиться известными нам способами, применяя правила с 1-ого по 5-ое. Используем правило 6.

.

Ответ.

Пример 54. Вычислим .

Решение. Заметим, что функция ведет себя различным образом при и при , поэтому вычислим два односторонних предела.

- сразу получили ответ.

(по правилу 11) .

Опять получили неопределенность, но новое выражение проще исходного, поэтому еще раз применим правило11 6.

Ответ: , .

Пример 55. Вычислим, применяя правило Лопиталя-Бернулли, .

Решение. Так как при подстановке получаем , можно пользоваться правилом 11. И тогда

Правило 11 пришлось применить два раза. Этот предел можно было вычислить, применяя правила 4 и 2, но решение было бы менее рациональное.

Ответ: .

Правило 12. Если при вычислении получается неопределенность типа , то можно использовать правило Лопиталя, преобразовав предварительно выражение тождественным образом так, чтобы появилась необходимая для правила дробь: или .

Правило 13. Если при вычислении предела сложно-показательной функции получается одна из неопределенностей типа то можно использовать правило Лопиталя, преобразовав предварительно выражение тождественным образом так, что , и вычислив , получить ответ.

Замечание. Можно поступить иначе. Чтобы вычислить , вычислим сначала , используя правила 11 или 12. Тогда из полученного результата последует ответ .

Пример 56. Вычислим, применяя правило Лопиталя-Бернулли, .

Решение. При подстановке получаем неопределенность

.

Используем правило 12, следуя которому, преобразуем тождественно данное выражение в дробь.

(по правилу Лопиталя) .

Ответ. .

Замечание. Если построить необходимую для правила Лопиталя дробь иначе, то получим

Результат оказался опять неопределенностью и, кроме того, новое выражение сложнее, чем исходное. То есть такое преобразование не позволяет вычислить данный предел.

Пример 57. Вычислите самостоятельно, отвечая последовательно на вопросы.

Решение. 1) Что получается при непосредственной подстановке , ответ или неопределенность? (неопределенность типа )

2) Какое правило можно применить, чтобы избавиться от этой неопределенности? (правило 12)

3) Преобразуйте данное выражение в необходимую для вычисления дробь, вычислите предел по правилу Лопиталя. Если результат получился сложнее исходного выражения, постройте дробь иначе.

( ).

4) Существует ли более короткое решение задачи?

(Да, если сначала сделать замену , а затем применить правило 11.)

Пример 58. Вычислим, применяя правило Лопиталя - Бернулли, .

Решение. При подстановке получаем неопределенность

.

Используем правило 13, следуя которому, преобразуем тождественно данное выражение следующим образом:

, где .

Вычислим по правилу 11 (Лопиталя):

.

При подстановке получаем опять неопределенность, но теперь в новом выражении содержится первый замечательный предел (см.(1)). И выделив его, получаем

.

Окончательно .

Ответ. .

Пример 40. Вычислите самостоятельно, отвечая последовательно на вопросы.

Решение. 1) Что получается при непосредственной подстановке , ответ или неопределенность? (неопределенность типа )

2) Какое правило можно применить, чтобы избавиться от этой неопределенности? (правило 13)

3) Преобразуйте данное выражение по выбранному правилу.

( )

4) Что получается при вычислении предела , когда подставляем непосредственно ? (неопределенность типа )

5) Какое правило можно применить, чтобы избавиться от этой неопределенности? (правило 12)

6) Преобразуйте соответствующим образом и вычислите .

( )

7) Дайте окончательный ответ, чему равен предел .

( )

Задачи для самостоятельной работы

Вычислите следующие пределы.

1) , 2) , 3) ,

4) , 5) .

Ответы. 1) , 2) , 3) , 4) , 5) .