Глава 6. Непрерывность и разрывы

6.1 Определения непрерывности и их геометрический смысл

Основное определение и некоторые свойства непрерывности уже были сформулированы в п. 3.1. Напомним это определение.

Определение (VIP). Функция называется непрерывной в точке если функция определена в точке .

Фактически, сопоставление предела и значения функции в одной и той же точке было начато нами еще раньше – при обсуждении рисунков 7, 8, 9.

Рис.7 Рис.8 Рис.9

Интуитивно ясно, что непрерывна только функция на рис. 7. Точнее говоря, она непрерывна во всех точках области определения. Функции на рис. 8 и 9 разрывны при x→a. О таких случаях также говорят: функция теряет непрерывность или терпит разрыв.

Для более детального обсуждения приведем две переформулировки основного определения непрерывности.

Определение 13а. Функция f(x) непрерывна в точке , если для любого найдется , такое что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Или в символах: ∀ε>0 ∃δ>0: |x-a|<δ ⇒ |f(x)−f(а)|<ε.

Назовем приращением аргумента величину ∆x=x-a, приращением функции – величину ∆у=f(x)−f(а)=f(а+∆х)−f(а). Будем рассматривать ∆у как функцию от ∆x.

Определение 13б. Функция f(x) непрерывна в точке , если ∆у – бесконечно малая при ∆x→0.

Формулировка 13б раскрывает суть понятия непрерывности: малые изменения аргумента приводят к малым изменениям функции.

Пример 49. Докажем, что функция у=х непрерывна в любой точке x=a.

Доказательство. Для любого найдется , такое что для всех , удовлетворяющих условию , после замены обозначений получим неравенство .

Пример 50. Докажем, что функция у=sinх непрерывна в любой точке x=a.

Доказательство. Прежде всего, установим зависимость между приращениями ∆у и ∆x:

.

Далее заметим, что . Отсюда следует, что∆у→0 при ∆x→0.

Замечание. В доказательстве использованы элементарные неравенства |cosα|≤1, |sinα|≤|α|, но не эквивалентность sinα~α. Дело в том, что при обосновании первого замечательного предела (а значит, и всех его следствий) используется непрерывность тригонометрических функций. Никакое доказательство не должно содержать ссылок (прямых или косвенных) на доказываемое утверждение.

Заменив в основном определении двусторонний предел односторонним, получим определение односторонней непрерывности.

Определение 14. Функция называется непрерывной слева (непрерывной справа) в точке , если .

Графики функций, непрерывных слева и справа в точке а, приведены на рисунках 18 и 19 соответственно. (Оба этих рисунка получены из рис.17 путем доопределения f(a).)

Определение 15. Функция называется непрерывной на промежутке, если она:

1. непрерывна в каждой внутренней точке промежутка;

2. односторонне непрерывна в каждой граничной точке, входящей в промежуток.

6.2 Классификация точек разрыва

Определение 16. Точка x=a называется точкой разрыва функции, если эта функция определена в проколотой окрестности точки a, но не является непрерывной в этой точке.

Контрольный вопрос.

Является ли x=0 точкой разрыва для функций: а) lgx; б) tgx; в) сtgx?

Определение 17. Точками разрыва первого рода функции f(x) называют такие точки разрыва, в которых односторонние пределы существуют и конечны. В частности, при А=В говорят об устранимом разрыве, а неустранимый разрыв первого рода (где А≠В) называют скачком.

Примеры устранимых разрывов приведены на рис. 8 и 9, примеры скачков – на рис. 17, 18, 19.

Определение 18. Точками разрыва второго рода функции f(x) называют такие точки разрыва, в которых хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен.

Примеры функций, имеющих разрыв второго рода:

1) Функция, изображенная на Рис.12;

2) Функция 1/х при x→0 (нарисуйте график самостоятельно);

3) Функция cos(1/х) при x→0 (график на рис. 20)

Исследование непрерывности и разрывов функции включает в себя:

1) Нахождение точек разрыва.

2) Исследование характера каждой точки разрыва.

Это исследование позволяет построить эскиз графика функции в окрестности точек разрыва в соответствии с геометрической интерпретацией односторонних пределов.

Для элементарных функций первая часть исследования делается на основе теоремы 2. Из нее вытекает

Правило 10. Точками разрыва элементарной функции являются точки, выколотые из области определения, и только они.

Вторая часть исследования – поиск односторонних пределов в каждой точке разрыва. Отметим, что такой расчет далеко не всегда связан со сложными вычислениями.

Пример 51. Исследуем точки разрыва функции

Решение. 1) Сразу видим точку разрыва а=0. Другую точку определяем из уравнения . Отсюда а=1.

2) Для а=0

Вывод: В точке а=0 функция имеет скачок.

Для а=1 сразу видим, что оба односторонних предела бесконечны. Т.е., здесь мы имеем разрыв 2-го рода.

Чтобы построить эскиз графика, следует учесть знаки А и В. Для этого заметим, что при х∈(0;1) и при х∈(1;+∞). Поэтому

Эскиз графика в окрестности точек раз-рыва – синие и фиолетовые линии на рис. 21. (Для большей наглядности мы изобразили график целиком.)

Рис. 21

Не всегда функция задается одним и тем же правилом (формулой) на всей области определения. Такие функции называются составными. Точки, в которых происходит смена правила, называются точками склейки. В этих точках возможны как сохранение непрерывности, так и ее потеря.

Пример 52. Исследуем непрерывность функции

.

Решение. 1) Функция заведомо непрерывна всюду, кроме точек склейки а=±2. Для этих точек необходимо дополнительное исследование.

2) Исследуем точку а=2.

f(2)=2²=4 (при х=2 в определении f(x) действует верхняя формула!)

На основании теоремы 5 (см. п.4.2.) существует двусторонний т.е. функция непрерывна в точке а=2.

Теперь исследуем точку а=-2.

Получили, что функция имеет при а=-2 неустранимый разрыв 1-го рода. Значение f(-2) при этом несущественно.

Упражнение. Постройте график функции из примера 46.

Задачи для самостоятельной работы

Докажите непрерывность функций на основе определений 14.

1) y=c=const; 2) y=cosx; 3) y= .

Исследуйте точки разрыва функций. Постройте эскизы графиков в окрестности точек разрыва.

.

Ответы:

4) а=0 – устранимый разрыв;

5) а=0 – неустранимый разрыв 1-го рода;

6) а=1 –разрыв 2-го рода, а=2 – устранимый разрыв;

7) а=0 – устранимый разрыв, а=1 –разрыв 2-го рода;

8) а=-1 – неустранимый разрыв 1-го рода, а=0 – разрыв 2-го рода.