5.3 Порядки малости и роста функции. Главные части функций при

Можно ли придать понятию «более высокий порядок малости/роста» количественное выражение? Во многих случаях ответ на этот вопрос – положительный.

Определение 11. Пусть f(х) и g(х) – бесконечно малые при . f(х) называется бесконечно малой k-го порядка малости (или порядка малости k) относительно g(х), если .

Точно так же формулируется определение k-го порядка роста для бесконечно больших.

Контрольный вопрос. Докажите, что в этих случаях f(х)~С(g(х))^k.

Отметим, что порядок малости или роста (если он определен) может быть любым положительным числом.

Пример 40. Найдем порядок малости функции α(х)=sin(πx) относительно β(х)=х−1 при х→1.

Решение. Следует вычислить для разных значений параметра k и выяснить, при каком из них получится не 0 и не ∞. Замена сводит задачу к первому замечательному пределу.

Ответ. k =1.

Замечание. Метод сведения к определению 11, использованный при решении примера 40, требует вычислить предел, зависящий от параметра. Этой трудности можно избежать, применяя метод эквивалентных преобразований, основанный на формуле f(х)~С(g(х))^k.

Определение 12 Если при х→* функция f(x) эквивалентна степенной функции С(g(х))^k, то С(g(х))^k называется главной частью функции f(х) при соответствующем стремлении аргумента.

В качестве g(x) обычно используются следующие простейшие степенные функции.

Табл.1.

	Бесконечно малая	Бесконечно большая
х→а	g(x)=x-a	g(x)=1/(x-a)
х→∞	g(x)=1/x	g(x)=x

Замечание. Из определения 12 следует, что если существует , то главной частью f(х) при х→* является С(g(х))^k. Число k при этом называется порядком малости или роста f(х) при х→*.

Пример 41. Найдем при х→0+ порядок малости и главную часть⁷ функции α(х)= .

Решение. Мы знаем, что 1−cosх~х²/2 при х→0. Отсюда, извлекая квадратный корень, получаем ~ (с учетом положительного знака х). Последнее выражение имеет вид С(β(х))^k, где β(х)=х, С= , k=1.

Ответ. Порядок малости k=1; главная часть .

Если в предыдущем примере рассмотреть стремление х→0-, порядок малости снова будет равен 1, а главная часть изменит знак (почему?)

При использовании метода эквивалентных преобразований бывает полезна следующая теорема.

Теорема 7. Пусть α(х) представима в виде α(х)=f(х)∙γ(х), где , а γ(х) – бесконечно большая (или бесконечно малая) при х→*. Тогда при этом стремлении аргумента α(х)~А∙γ(х).

Упражнение. Докажите эту теорему.

Пример 42. Найдем порядок малости и главную часть функции α(х)= при х→0.

Решение. Перегруппируем формулу, выделив бесконечно малый множитель: α(х)= . Функция f(х)= непрерывна в нуле, поэтому . По теореме 7 получаем ~ .

Ответ. Главная часть: . Порядок малости k=2.

Теорема 8. При х→* функция α(х) является бесконечно малой порядка малости k относительно β(х) тогда и только тогда, когда функция является бесконечно большой порядка роста k относительно .

Пример 43. Вычислим при :

а) порядок роста функции (относительно );

б) порядок малости функции (относительно ).

Решение. а) сделаем замену и рассмотрим . При t→0 ~ , т.е. порядок роста равен 1/3. Тот же самый порядок роста имеет исходная функция . В самом деле, мы можем переписать предыдущую эквивалентность, вернувшись к переменной х: ~ ;

б) действуя аналогично пункту а, получаем ~ . (Или, вернувшись к старой переменной, ~ ). И здесь k=1/3. Разумеется, вторую выкладку можно было бы заменить ссылкой на теорему 8.

Ответ. k=1/3.

Переформулируем правило 7 из предыдущего пункта для задач о поиске главной части.

Правило 8. Главная часть произведения (частного) двух бесконечно малых или бесконечно больших равна произведению (частному) главных частей исходных функций.

Пример 44. Найдем главную часть функции f(х)= при х→0+.

Решение. Мы не можем сразу определить, является данная функия бесконечно малой или бесконечно большой, т.к. . Однако, это не препятствует поиску главной части методом эквивалентных преобразований:

f(х)= .

Предел первого сомножителя равен 3. По теореме 7 и правилу 8

f(х)~ ~ .

Последнее выражение и есть искомая главная часть. Функция f(х) оказалась бесконечно большой с порядком роста k=1/2.

Ответ. f(х)~ .

В примерах 36, 37 обсуждалась проблема, связанная с вычитанием бесконечно малых. Сейчас мы можем разобраться в этом вопросе более основательно.

Теорема 9. При х→∗ (f−g=o(f), f~g ).

Теорема 9 справедлива как для бесконечно больших, так и для бесконечно малых функций.

Контрольный вопрос. Дайте словесную формулировку теоремы 9: а) для бесконечно малых; б) для бесконечно больших. Необходимую терминологию см. в п. 5.1 .

Следствие 1. Главная часть разности (или суммы) бесконечно малых с различными порядками малости совпадает с главной частью функции с меньшим порядком малости.

Например, при х→0 разность х – х² ~ х.

Следствие 2. Главная часть разности (или суммы) бесконечно больших с различными порядками роста совпадает с главной частью функции с большим порядком роста.

Например, при х→∞ разность х – х² ~−х².

Чтобы не перепутать формулировки следствий 1 и 2, полезно задавать себе проверочный вопрос:

Чему примерно равна разность:1) одной десятой и одной тысячной? 2) десяти и тысячи?

Замечание. Если в сумме или разности присутствует слагаемое, которое не является ни бесконечно большим ни бесконечно малым, ему можно условно приписать нулевой порядок.

Пример 45. Найдем порядок малости и главную часть функции α(х)= при х→∞.

Решение. Исследуем знаменатель дроби, который является бесконечно большой функцией. Очевидно, что для первого слагаемого k₁=2. Далее, ln(e^x+1)~ln(e^x)=х, поэтому k₂=1. Приписывая синусу k₃=0 и используя следствие 2, получаем, что главная часть знаменателя равна 0,01х². Отсюда немедленно следует ответ.

Ответ. Главная часть: . Порядок малости k=2.

Правило 9. Большинство задач анализа бесконечно малых и бесконечно больших можно свести к вычислению главных частей.

Пример 46. Даны функции f(х)= и g(х)= при х→∞. Требуется:

1. Определить, являются ли эти функции бесконечно малыми или бесконечно большими.

2. Найти их главные части и порядки малости (роста).

3. Сравнить функции f и g.

Решение. Найдем главную часть функции f. Поскольку это дробь вида , исследуем числитель и знаменатель отдельно.

Функция не является бесконечно большой в смысле определения Error: Reference source not found. (В самом деле, равенство может выполняться для сколь угодно больших x=πk, k∈ℤ.) Поэтому условно припишем ей порядок 0. Функция х³ – бесконечно большая порядка 3; следовательно, это и есть главная часть числителя⁸.

Порядок роста знаменателя равен 1, т.к. 1> . Главная часть знаменателя – его первое слагаемое х. По правилу 9 находим f(х)~х².

1. Найдем главную часть функции g. Рассуждения, аналогичные предыдущим (проведите их сами!), дают g(х)~ х.

2. Из результатов пунктов 1) и 2), с учетом теоремы 6, вытекают ответы на все оставшиеся вопросы. А именно:

   • функции f и g – бесконечно большие;

   • . Таким образом, g(х)=о(f(х)).

Ответ. а) Бесконечно большие; б) f(х)~х², k₁=2; g(х)~ х, k₂=1; в) g(х)=о(f(х)).

Замечание. Следует помнить, что не у всех бесконечно больших и бесконечно малых функций имеются главные части. Для таких функций правило 9 неприменимо.

Пример 47. Покажем что у функции lnx при х→+∞ нет порядка роста и главной части.

Решение. Следуя определению 12, запишем предел при любом k>0. Раскроем неопределенность по правилу Лопиталя (правило 6):

.

Таким обазом lnx=o(x^k) при любом k>0.

Пример 48. Вычислите самостоятельно главную часть фукции f(х)= при х→+∞, отвечая последовательно на вопросы:

1. Какого типа функции стоят в числителе и знаменателе?

(Бесконечно большие.)

2. Чему равна главная часть числителя? (Самому числителю, т.е. х^1/4.)

3. Чему равна главная часть подкоренного выражения в знаменателе? Указание. Используйте результат примера 47 и теорему 9. (х³.)

4. Чему равна главная часть f(х)?

Ответ. .

Задачи для самостоятельной работы

Вычислить пределы, используя основные эквивалентности.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Найти главные части и порядки малости функций при х→0.

6. 

7. 

8. 

9. 

Найти главные части и порядки роста функций.

10. при х→+∞;

11. при х→∞;

12. при х→+∞;

13. при х→1+0;

14. при х→0+ .

Существуют ли главные части у следующих функций?

15. при х→∞;

16. при х→+∞;

17. при х→-∞;

18. при х→0+ .

Ответы. 1) -2; 2) ∞; 3) 1/5; 4) -18ln3/π; 5) 0; 6) –x, k=1; 7) k=1; 8) , k=1/3; 9) , k=1; 10) , k=1/2; 11) , k=1; 12) , k=2; 13) , k=1; 14) , k=1/6; 15)-18) Не существуют.