5.2 Эквивалентность функций и ее применение к вычислению пределов

Теорема 6. Предел отношения двух бесконечно малых (бесконечно больших) функций не измениться, если каждую из них (или одну) заменить эквивалентной ей функцией. Т.е., если при то .

Из этой теоремы вытекает

Правило 7. Чтобы вычислить предел, содержащий неопределенность или следует заменить исходные выражения эквивалентными им степенными функциями (если это возможно). Затем провести необходимые сокращения и вычислить предел.⁶

Пример 7 (продолжение). Вычислим пределы: .

Заметим, что , т.е. х+1~ х при х∞. Отсюда по правилу 9

а) ;

б) ;

в) ;

г) не существует. В самом деле, если бы он существовал, то существовал бы и предел .

Для того, чтобы эффективно применять правило 7, следует знать список основных эквивалентностей. Прежде чем выписать его, укажем два довольно очевидных свойства эквивалентных функций.

• Симметричность: если при х→∗ f~g, то g~f;

• Транзитивность: если при х→∗ f~g и g~h, то f~h.

Эти свойства позволят нам выписать несколько эквивалентных друг другу функций.

Основные эквивалентности при и→0

sinu ~ u, tg u ~ u, arcsin u ~ u, arctg u ~ u,

e^u−1 ~ u, ln(1+u) ~ u;

1− cos u ~ u²/2;

a^u−1 ~ u lna;

log_a(1+u) ~ ulog_ae; (7)

(1+u)^p−1 ~ pu (p∈ℝ). В частности, ~ .

Замечание: u может быть как независимой переменной, так и функцией х, такой что .

Большая часть формул (7) – переформулировка на новом языке уже известных следствий первого и второго замечательных пределов. Например, запись 1−cos u~u²/2 означает то же самое, что и формула , которая после деления на 2 приобретает уже знакомый вид: .

Отдельного комментария требует последняя эквивалентность. У этой формулы не было аналогов в предыдущих разделах.

Утверждение. .

Доказательство. Сделаем замену переменной . Тогда . Заметим, что при t0 e^t-1~t, и, кроме того, e^pt-1~pt, покольку pt0. По теореме 6 .

Использование правила 7 и основных эквивалентностей позволяет во многих случаях сократить процесс вычисления предела. Покажем это на примерах 17 и 31, уже решенных ранее.

Пример 17. Вычислим (С≠0).

Решение. Поскольку , то sinCx~Cx. Значит,

.

Пример 31. Вычислим .

Решение. Сразу применить основные эквивалентности нельзя. Выполним те же самые преобразования, что и в первом способе решения:

Далее воспользуемся правилом 7, полагая в числителе , а в знаменателе :

.

Отметим, что применять правило 7 (как и другие правила) следует аккуратно. Иногда желание получить быстрое решение приводит к ошибкам.

Пример 35. Вычислим .

Решение. Имеем неопределенность . Однако, здесь нельзя сразу применить основные эквивалентности, т.к. πх→π, а не к 0.

Поэтому прежде всего сделаем замену переменной и=х–1, потом воспользуемся формулами приведения. Только после этого появится возможность применить правило 7.

.

Ответ. -1/3.

Пример 36. Вычислим .

Решение. Несмотря на то, что при х→0 справедливы эквивалентности tg2x~sin2x~2x, немедленное использование правила 7 невозможно! Разность tg2x−sin2x не эквивалентна 2х−2х≡0. Следует начать с преобразования разности в произведение, что позволит затем воспользоваться правилом 7.

.

Ответ. 4.

Пример 37. Вычислим .

Решение. Пример по виду похож на предыдущий. Но здесь выкладка не приводит к ошибке. Дело в том, что в этом примере возможно почленное деление:

.

Ответ. А=-1.

В предыдущем примере почленное деление приводило к неопределенности .

Вывод. Если формула содержит операции сложения и вычитания, применять эквивалентность следует только тогда, когда вы можете четко обосновать свои действия. Категорически запрещается заменять разность эквивалентных функций тождественным нулем!

Пример 38. Вычислим .

Решение. Имеем неопределенность типа . Преобразуем разность в произведение так, чтобы стало возможным применение последней из формул (7): .

Далее заметим, что , поэтому ~ . Отсюда по правилу 7 .

Ответ. 2.

Пример 39. Вычислите самостоятельно , последовательно отвечая на вопросы.

1. Какого типа неопределенность? ( )

2. Какая из формул (7) наиболее похожа на формулу в числителе?

(Последняя.)

3. Можно ли применить эту формулу немедленно? Если нет, что этому мешает? (Нельзя. Мешает отсутствие вычитаемого, равного 1.)

4. Какими способами можно устранить затруднение?

(Таких способов два:

а) вынести за скобку;

б) прибавить и вычесть 1 в числителе, а затем рассмотреть разность двух пределов.)

5. Какой из путей решения менее трудоемок? (Второй.)

6. Выполните необходимые преобразования и получите ответ.

Ответ. А=−1/6.