Глава 5. Сравнение бесконечно малых (бесконечно больших)

5.1 Основные понятия и обозначения

Мы уже разобрали множество примеров, в которых раскрытие неопределенностей и приводило к различным результатам. Сейчас мы проведем их систематизацию.

Для начала заметим, что сравнение двух величин в обыденном понимании («Делает из мухи слона!») – это не только выяснение, что больше, а что меньше. Важно и то, каков масштаб различий.

Определение 12. Функция называется бесконечно малой при при , если

Функция называется бесконечно большой при , если

_{Так, например, является бесконечно большой при и бесконечно малой при .}

Применительно к функциям и , бесконечно малым при , сравнение – это анализ поведения их отношения при . Он может привести к следующим результатам.

Пусть и бесконечно малые функции при _.

_(N)

1. . В этом случае α(х) называется бесконечно малой более высокого порядка малости, чем β(х). Обозначение: α(х)=о(β(х)).

Символ «о» читается «о-малое от…», его сходство с числом 0, разумеется, не случайно. Часто для краткости аргументы опускают и пишут просто α=о(β).

2. . В этом случае α(х) называется бесконечно малой более низкого порядка малости, чем β(х). Поскольку в этом случае , можно записать: β(х)=о(α(х)).

3. . В этом случае говорят о бесконечно малых одного (или одинакового) порядка малости.

В частности, при С=1 бесконечно малые называются эквивалентными; это обозначается как α~β.

Если С≠1, можно использовать обозначение α~ С β. В самом деле, .

4. не существует. В этом случае бесконечно малые называются несравнимыми. Поскольку этот случай встречается редко, специального обозначения для него нет.

Аналогично⁵ можно провести сравнение бесконечно больших .

(N+1)

1. Если ,то функция А(х) называется бесконечно большой более высокого порядка роста, чем В(х).

2. Если , то А и В – бесконечно большие функции одного порядка роста. В частности, если то А(х) и В(х) - эквивалентные бесконечно большие: А~В.

3. Если , то В(х) называется бесконечно большой более высокого порядка роста, чем А(х).

4. Если не существует, то А(х) и В(х) несравнимы.

Пример 35. Выясним, являются ли заданные далее функции бесконечно малыми или бесконечно большими, и сравним их (если это возможно).

а)

б)

в)

Решение. а) Вычислим пределы обеих функций при .

является бесконечно малой при .

тоже является бесконечно малой при .

Сравним их между собой. (См(N))

При вычислении был использован известный предел из ().

Т.к. является бесконечно малой более высокого порядка, чем

б) Вычислим пределы данных функций при

является босконечно большой.

(См. правило 1)

тоже является бесконечно большой .

Сравним их между собой. (См. (N+1)).

является бесконечно большой более высокого порядка роста, чем .

в) Вычислим пределы при .

- бесконечно малая

- тоже бесконечно малая.

Сравним их между собой. (См. (N)).

являются бесконечно малыми одного порядка.

Контрольный вопрос. Сравните при х∞ бесконечно большие с бесконечно большой .

Подсказка. См. пример 7.