Московский государственный технический университет

имени Н.Э. Баумана

Факультет «Фундаментальные науки»

Кафедра «Математическая физика и вычислительная математика»

Дубограй и.В., Дьякова л.Н., Станцо в.В., Шишкина с.И. Предел функции Электронное учебное издание

Методические указания к выполнению домашних заданий

Москва

2013

УДК 517.51

Рецензент: доц., к.ф.-м.н., Маргарита Михайловна Сержантова

Дубограй И.В., Дьякова Л.Н., Станцо В.В., Шишкина С.И.

Предел функции: электронное учебное издание. - М.: МГТУ имени Н.Э. Баумана, 2013. 86 с.

Издание содержит теоретический материал, охватывающий основные определения и теоремы, рассмотрены основные методы вычисления пределов функций, подробно рассмотрены те вопросы, которые обычно вызывают трудности при изучении соответствующего раздела математики. Даны подробные решения задач со ссылками на нужные формулы, предлагаются задачи для самопроверки, а также задачи для самостоятельного решения.

Издание может быть использовано для дистанционного обучения.

Для студентов МГТУ имени Н.Э. Баумана всех специальностей.

Электронное учебное издание

Дубограй Ирина Валерьевна

Дьякова Людмила Николаевна

Станцо Виталий Владимирович

Шишкина Светлана Ивановна

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

© 2013 МГТУ имени Н.Э. Баумана

Глава 1. Предел последовательности

1.1 Понятие числовой последовательности

Числовая последовательность – это функция натурального аргумента

Ее графиком на плоскости XOY является множество изолированных точек, абсциссы которых есть натуральные числа

То есть, числовая последовательность представляет собой бесконечное мно-жество чисел, связанных общим законом, который задается общим элементом .

Пример 1. Дана функция натурального аргумента. Вычислим несколько первых ее значений.

Решение. Зададим конкретное значение аргумента n и подставим его в выражение .

При n=1 получим , при n=2 , при n=3 и т.д. Например, при n=10 получим .

Последовательности, описываемые простыми правилами, удобно задавать перечислением начальных членов.

Пример 2. Задано несколько элементов числовой последовательности: .

Найдем выражение общего элемента как функции аргумента n.

Решение. Легко заметить, что при n=1, 2, 3 Чередование знаков: минус, плюс, минус и т.д. – описывается с помощью множителя .

Окончательно получаем ответ: .

Запомните, что чередование знаков плюс, минус, плюс и т.д. – описывается с помощью множителя . Последовательность четных чисел можно записать как 2n, нечетных – как (2n-1), .

1.2 Предел числовой последовательности

Как ведет себя последовательность при росте n? Следующие три примера показывают, что имеется три принципиально различных типа поведения.

Первый из них: . Вычислим несколько первых элементов этой последовательности и проанализируем, как они изменяются с ростом номера n.

При n=1 , при n=2 , при n=3 , при n=4 , при n=5 и т.д.

Очевидно, что чем больше номер n, тем больше значение .

Нетрудно заметить, что , и при очень больших n поведение похоже на поведение последовательности n-1.

Вывод: при . (См. рис.1)

Рис.1

Рассмотрим теперь вторую последовательность, где . Другими словами, это: -1, 1, -1, 1, … Последовательность колеблется, оставаясь ограниченной.

Контрольный вопрос. Нарисуйте график последовательности .

Последовательности, которые ведут себя, как или , называются расходящимися.

Наконец, рассмотрим третью последовательность, где . Вычислим несколько первых ее элементов.

При n=1 , при n=2 , при n=3 , при n=4 , при n=5 и т.д.

Очевидно, что чем больше номер n, тем значение меньше, и при возрастании n эти значения становятся все ближе к числу 0. (См. рис.2)

Рис.2

Последовательность, у которой все элементы с достаточно большими номерами приближенно равны одному и тому же числу, называется сходящейся. Число, к которому приближаются значения элементов последовательности при возрастании номера n, называется пределом этой последовательности.

Следующее определение формализует понятия «приближенно равны» и «достаточно большие номера».

Определение 1. Число А называется пределом числовой последовательности , то есть , если для любого, сколь угодно малого, найдется такой номер , что для всех будет выполняться неравенство .

В логических символах определение 1 можно записать следующим образом:

: .

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, не имеющая предела – расходящейся.

Рассмотрим графическую иллюстрацию определения 11 (См. рис.3).

Рис.3

На оси ординат выбрана произвольным образом -окрестность точки А.¹ На координатной плоскости ей соответствует заштрихованная полоса шириной .

Точки с ординатами при возрастании номера n располагаются все ближе к прямой . И для любого найдется такой номер N, что все точки, соответствующие элементам последовательности с , окажутся внутри заштрихованной полосы. Обозначение N(ε) подчеркивает, что выбор номера N зависит от выбора числа ε.

Напомним, что на рис.1 изображены элементы расходящейся последовательности. Нетрудно убедиться, что в этом случае при любом предположительно выбранном А, и для любых и N, найдется бесконечно много точек, оказавшихся вне соответствующей полосы шириной при .

Пример 3. Найдем число А, являющееся пределом числовой последовательности с общим элементом , и пользуясь определением, убедимся в правильности ответа.

Решение. Вычислим несколько первых элементов данной последовательности:

Проанализировав результат, видим, что элементы при больших значениях n увеличиваются и все они ограничены так, что .Появилось предположение, что искомое число А равно 2.

С другой стороны, можно тождественно преобразовать следующим образом:

.

Теперь очевидно, что при возрастании номера дробь уменьшается и при она стремиться к нулю. В таком случае, при достаточно больших значениях n элементы последовательности приближаются к числу 2, то есть искомый предел А=2, или .

Докажем, что это действительно так, пользуясь определением 1 предела числовой последовательности.

Число А=2 будет пределом данной последовательности, т.е. , если для любого найдется такой номер N(ε), что для всех будет выполняться неравенство .

Вопрос заключается в том, найдется ли номер N(ε), необходимый для выполнения последнего неравенства?

Преобразуем это неравенство следующим образом, учитывая, что n+1>0:

В итоге получаем . Именно для таких номеров n выполняется неравенство, следующее из определения 1.

При ε≥1 возьмем N(ε)=1. Если ε∈(0;1), то в качестве номера N(ε) выберем целую часть числа . (В частности, если выбрать , то номер , а если , то .)

И теперь видим, что для любого можно найти такой номер N(ε), что для всех n>N(ε) будет выполняться неравенство . Таким образом, из определения 1 для данной последовательности следует, что ее пределом является число А=2.

Угадать значение предела А и аккуратно проверить выполнение определения 1 можно только в тех случаях, когда последовательность задана простейшими формулами. В более сложных примерах применяются правила вычисления пределов, которые подробно рассмотрены в главе 3. Некоторые из этих правил использованы в решении следующего примера.

Пример 4. Выясним, является ли сходящейся последовательность с общим элементом .

Решение. Числовая последовательность является сходящейся, если существует предел .

Чтобы вычислить этот предел или убедиться в том, что он не существует, преобразуем тождественно следующим образом:

т.к. очевидно, что при дробь .

Ответ: данная числовая последовательность сходится к пределу А=1/2.