6. Построение математической модели по эмпирическим данным

Ковариация (корреляция) является индикатором наличия статистической зависимости между величинами, но она не позволяет получить формальное описание этой зависимости даже в простейшем линейном случае. Определение математического представления зависимости (формулы или функции, ставящей каждому значению u в соответствие значение у или наоборот) осуществляется регрессионным анализом, важным инструментом которого является метод наименьших квадратов.

Рис.1. Графическая иллюстрация метода наименьших квадратов

Его существо на простейшем примере линейной регрессии, позволяющей оценить линейную корреляционную зависимость, можно уяснить по рис.1. Жирной линией на рис. 1 показана предполагаемая зависимость у от u, описываемая формулой: y = a₀ + a₁u. Содержательный смысл параметров а₀ и а₁ отражен на рисунке. Тонкие вертикальные линии из точек (₁, _), (₂, ₂), (₃, ₃) до линии y = a₀ + a₁u равны величине уклонения у_i = _i – y_i= _i – (a₀ + a₁_i), i = 1, 2, 3. Линию y = a₀ + a₁u можно определить так, чтобы сумма квадратов отклонений у_i по всем точкам была бы минимальной:

. (13)

Использование квадратов отклонений у_i в (13) позволяет, во-первых, уравнять влияние положительных и отрицательных уклонений и усилить влияние значительных уклонений; во-вторых, позволяет получить аналитические выражения для определения параметров регрессии а₀, а₁, т.к. приводит к системе линейных уравнений. Из математического анализа известно, что значение аргументов, при которых функция имеет экстремальное значение, может быть найдено из условия равенства нулю производных функции по этим аргументам:

(14)

В выражениях (14) _i и _i – числа. Поэтому они представляют два линейных уравнения относительно а₀ и а₁:

(15а)

(15б)

где

Из (15) следует:

. (16)

В общем случае формула, которой описывается зависимость y от u=(u₁,u₂,...,u_k) может иметь вид:

, (17)

где f_j - заданные функции.

Например (17) может быть такой:

(17а)

где f₁ =1, f₂=u, f₃=u², f₄=u³.

Вектор коэффициентов (параметров) а=(а₁,а₂,а₃,а₄, ...) находится по алгоритму:

а = (F ^Т F)^-1 F ^Т  , (18)

где F – информационная матрица, содержащая значения базисных функций f_l (_q) модели в точках измерения, которая имеет вид:

. (19)

Для модели (17а) k=4. В (18) значок ^Т обозначает транспонирование матрицы, а ^-1 – её обращение.

Матрица F имеет размеры Qk , где Q – количество измерений (строк), k - количество базисных функций. Обычно Q L , так что матрица F будет сильно вытянутой по вертикали, однако результат перемножения матриц (F^ТF) будет представлять квадратную матрицу размера kk. Таким образом, в результате выполнения матричных операций по (18) определяются исходно неизвестные параметры модели а=(а₁,а₂,а₃,а₄, ...).

Содержание задания

Магистрант получает эмпирические массивы реализаций двух случайных величин. Для заданных массивов значений каждой случайной величины необходимо определить:

1. Средние значения случайных величин

2. Дисперсии случайных величин

3. Среднеквадратические отклонения случайных величин.

4. Построить гистограммы

5. Ковариацию и коэффициент корреляции

Для двух случайной величины необходимо определить:

1. Ковариацию

2. Коэффициент корреляции

3. Линейную регрессию

4. Оценить точность полученной регрессии.

Задание должно быть оформлено в соответствии с требованиям к рукописным трудам

Массивы значений выбираются из прилагаемого Excelевского файла в соответствии с таблицей 1.

Таблица 1. Варианты исходных данных для контрольной работы

Номер студента по списку	Массив значений величины Х	Массив значений величины Z
1 – 6	А(01-100), ,..., А(501-600),	В(01-100), ,..., В(501-600).
7 – 12	А(01-100), ,..., А(501-600),	C(01-100), ,..., C(501-600).
13 – 18	А(01-100), ,..., А(501-600),	D(01-100), ,..., D(501-600).
19 – 24	B(01-100), ,..., B(501-600),	C(01-100), ,..., C(501-600).
25 – 30	B(01-100), ,..., B(501-600),	D(01-100), ,..., D(501-600).
31- 36	C(01-100), ,..., C(501-600).	D(01-100), ,..., D(501-600).

Задание оформляется в соответствии с требованиями к рукописным работам, установленными стандартами России и методическими указаниями РАНХиГС.

Литература

1. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для вузов / М.: Высшая школа, 2003. – 479 с.

2. Закс, Л. Статистическое оценивание / М.: Статистика, 1976. – 321 с.

3. Львовский, Е. Н. Статистические методы построения эмпирических формул: учебное пособие для вузов / М.: Высшая школа, 1989. – 240 с.

При выполнении контрольного задания может быть использована многочисленная другая литература по статистической обработке данных.

Указания к контрольной работе и задания разработал проф. Кузнецов Л.А.

10