4. Нормальный закон распределения

Наибольшее распространение при практических исследованиях в социально-экономической сфере имеет нормальный закон распределения, который символически обозначается так N(; ²), где  и  параметры распределения. Функция распределения величины по нормальному закону имеет вид:

,

а плотность распределения описывается функцией Гаусса:

где -  < x < + , е= 2,718, = 3,141.

Рис. 3.3. Функция Гаусса и параметры

Плотность нормального распределения (функция Гаусса) показана на рис.4. Нормальный закон распределения используется в стандартах, он табулирован и представлен в разнообразных таблицах, которые применяются при обосновании статистических выводов.

Соответствие имеющихся значений случайной величины х₁, х₂, х₃,... х_n нормальному закону проверяется по центральным моментам. Момент k-го порядка равен

, (6)

где p_i – вероятности.

Для проверки нормальности распределения заданного массива значений х₁, х₂, х₃,... х_n вычисляются асимметрия распределения

(7)

и эксцесс

. (8)

Для нормального закона асимметрия S₃=m₃/СКО³ и эксцесс Е=m₄/СКО⁴ равны нулю. Их отклонения от нуля свидетельствуют об отклонении распределения величины Х от нормального закона, которое тем больше, чем больше S₃ и Е.

5. Статистическая взаимосвязь случайных величин

Наличие стохастической взаимосвязи между случайными величинами может проверяться на множествах реализаций по ковариациям cov(U,Y)=r_uy:

, (9)

где Е - обозначает операцию определения математического ожидания,

х_q,z_q – q-е измеренные значения случайных величин X и Z

Q – количество измеренных значений (объем выборки),

p_q – вероятность значений x_q, и z_q в выборке,

_[ и _z – средние значения - координаты центра, относительно которого вычисляется момент.

Если вероятности одинаковы для всех пар реализаций и равны р= 1/n, то множитель можно вынести за знак суммы и получить формулу для вычисления ковариации:

. (10)

Ковариация имеет размерность произведения величин X и Z. Если ковариацию разделить на среднеквадратические отклонения величин X и Z, т.е. на _x и _z , то получится коэффициент корреляции 

, (11)

который изменяется в пределах от – 1 до +1.

Содержательная сущность (10) отражается формулой , стоящей под знаком суммы, которая представляет произведение отклонений i-х значений величин x_i и z_j от средних значений этих величин _x и _z, вычисленных на всем множестве Q измерений. Статистическая взаимосвязь выявляется по согласованности отклонений величин _i и _j проверкой условий:

(12)

Видно, что вариант (а) может иметь место только при совпадении знаков уклонений. В механике это соответствует согласованному влиянию сил на момент. При этом не важно положительные или отрицательные отклонения, важно, что они в одну сторону, согласованы. Эффект от их воздействия складывается. Если под знаком суммы в (10) будут превалировать произведения типа (а), то суммарный эффект величин _i и _j будет положительна  0, что свидетельствует о наличии между этими величинами положительной, т.е. согласованной по знаку взаимосвязи, относительно центра (a_i , a_j). Ясно, что величина произведения определяется величиной сомножителей, поэтому, чем больше будут отклонения величин _i и _j от заданных значений этих величин a_i и a_j, тем больше . Уклонения подобны величине плеч при определении момента силы в механике, при этом в механике используются физическая система единиц и плечо измеряется в единицах длины. В статистике величины _i и _j могут иметь различное содержание и измерение, поэтому для исключения влияния размерности величин _i и _j на величину целесообразно перейти к сопоставимым безразмерным значениям величин _i и _j, используя обсуждавшиеся масштабные преобразования.

Вариант (b) отличается от предыдущего знаком. Ясно, что произведение отклонений будет отрицательным, только в случае, если сомножители имеют разные знаки. При этом, как и в предыдущем случае, неважно отклонение какой величины будет положительным, а какой – отрицательным. Важно, что отклонения будут отличны от нуля и знаки их противоположны. Преобладание слагаемых такого типа в сумме (10) приведет к получению величины  0 . Поэтому получение отрицательного второго момента двух случайных величин свидетельствует о том, что величины _i и _j изменяются в противофазе: увеличение одной величины из пары происходит на фоне уменьшения другой или наоборот. Можно сказать, что между величинами _i и _j существует отрицательная взаимосвязь. Коэффициент корреляции в этом случае изменяется в пределах от 0 до -1.

Вариант (с) возникает, если отклонения одной из величин равны нулю, или количество равнозначных отклонений примерно равно количеству разнозначных, поэтому сумма произведений (с) будет близка к нулю  0. Близость к нулю второго момента свидетельствует об отсутствии определенной статистической связи между случайными величинами _i и _j в пределах выборки Q. На другой выборке ситуация может измениться.

Таким образом,  0 содержательно показывает, что хотя величины _i и _j являются случайными, на множестве их случайных значений можно ожидать, что при некотором среднем изменении одной другая величина будет в среднем изменяться предсказуемым (в том же направлении) образом. При  0 можно утверждать, что между величинами _i и _j существует отрицательная связь. При _{i j}  0 статистической связи не наблюдается. Ясно, что величина произведений (11) зависит и от значений уклонений - сомножителей. Но все-таки главным, что позволяет выявить второй момент, является факт - имеется ли и, если до, то какого знака, статистическая взаимосвязь между величинами. Исходно сведения о существовании или отсутствии связи обычно отсутствуют и величины предполагаются независимыми.