Неопределённый интеграл и его свойства.

Определение 2: Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом . Как следует из изложенного выше, если F(x) - некоторая первообразная функции f(x), то , где C - произвольная постоянная. Функцию f(x) принято называть подынтегральной функцией, произведение f(x) dx - подынтегральным выражением.

Свойства неопределённого интеграла, непосредственно следующие из определения:

1. .

2. (или ).

Таблица неопределённых интегралов.

1	.	11	.
2	.	12	.
3	( ).	13	.
4	.	14	.
5	; .	15	.
6	.	16
7	.	17	.
8	.	18	.
9	.	19	.
10	.	20	; .

• В формулах 14, 15, 16, 19 предполагается, что a>0. Каждая из формул таблицы справедлива на любом интервале, на котором непрерывна подынтегральная функция. Все эти формулы можно доказать дифференцированием правой части.

• Дальше мы докажем, что любая непрерывная функция имеет первообразную и, как следствие, неопределённый интеграл. При изучении дифференцирования было установлено, что с помощью таблицы производных и правил дифференцирования без труда можно получить производную любой элементарной функции, и эта производная тоже будет элементарной функцией. Операция интегрирования этим свойством не обладает: даже относительно простые функции могут иметь первообразные, которые через элементарные функции не выражаются. Так, доказано, что не берутся в элементарных функциях следующие интегралы, относящиеся к классу специальных функций: - интеграл Пуассона; , - интегралы Френеля; , , - интегральные синус, косинус, логарифм.

Простейшие правила интегрирования.

1. ( );

2. ;

• Для доказательства правил 1,2 достаточно продифференцировать выражения, стоящие справа от знака равенства и убедиться, что эти выражения являются первообразными для функций, стоящих слева. Например, .

• Примеры применения правил 1,2: . и т.д. Значительно расширяют круг функций, интегралы от которых напрямую сводятся к табличным, два приёма, которые являются частными случаями рассматриваемого дальше метода замены переменной в неопределённом интеграле: подведение под знак дифференциала постоянного слагаемого и постоянного множителя:

3. Подведение под знак дифференциала постоянного слагаемого:

4. если , то .

5. (Док-во: если , то ).

Пример: .

6. Подведение под знак дифференциала постоянного множителя: если , то . (Док-во: если , то ).

• Пример: . Приёмы 3, 4 легко комбинируются: если , то .

• Пример: .