Интернет ресурсы:

1. Колмогоров А.Н. (ред.) — Алгебра и начала анализа: Электронная книга.Lib.mexmat.ru/books/3307

2. Алгебра и начала анализа. 10-11 класс. Учебник. Мордкович

e-ypok.ru/content/

3. Математика для колледжей » Математический Портал – библиотека math-portal.ru

Самостоятельная работа №15.

Тема: Преобразование графиков тригонометрических функций (построение графиков).

Время выполнения задания – 6ч.

Цель работы: Закрепление знаний и умений по развитию преобразование графиков тригонометрических функций с помощью построение графиков.

Теоретический материал.

На рисунке показаны графики тригонометрических функций синуса и косинуса с разними значениями аргумента.

При параллельном переносе графиков тригонометрических функций можно применять набор шаблонов. Шаблоны можно изготовить самим, из картона или из других материалов. Единичный отрезок 1 сантиметр. Это самый удобный масштаб для работы с графиками тригонометрических функций. Без труда можно нанести разметку на оси Ох и, самое главное, повторять доли числа  !  А это очень важно, т.к. затем можно быстро найти длины векторов параллельного переноса:   – на 6 клеток,  /2 – на 3 клетки,  /4 – 1,5 клетки,  /3 – на 2 клетки,  /6 – на 1 клетку.

Например, чтобы построить график функции у=sin(x –  ) приложим шаблон так, чтобы одна из вершин нашего шаблона ("макушка" волны) была в точке ( /2; 1). Это синусоида. А теперь сдвинем вправо на  , т.е. на 6 клеток. В одной системе координат можно построить несколько графиков. Можно использовать цветные пасты, но это не обязательный атрибут в работе. Обязательным же является оформление аналитической записи функции рядом с графиком.

При построении графиков с помощью шаблонов проверять ключевые точки. Например, точки пересечения с осью Ох или вершины синусоиды. Например, сдвинув синусоиду на  /3, нужно посмотреть, что все точки пересечения сдвинулись ровно на 2 клетки.

График функции y=f(x+a) можно получить, выполнив параллельный перенос вдоль оси Ох на а единичных отрезков вправо, если а<0 и на а единичных отрезков влево, если а>0.

График функции y=f(x)+a можно получить, выполнив параллельный перенос вдоль оси Оy на а единичных отрезков вниз, если а<0 и на а единичных отрезков вверх, если а>0.

Решение примеров и задач (алгоритм выполнения задания):

Задание 1. Строим систему координат. Делаем разметку...  

Как выполнить построение графика функции y=sin(х –  )? 

Сначала, "Зацепились" за макушку волны, например, точку ( /2; 1), переместили шаблон на 6 клеток вправо. Подписали график. А теперь посмотрим, как изменились свойства функции. 

На доске оформлена таблица свойств функции y=sinx. Проверяем свойства функции и заполняем правую часть таблицы. Если свойство не изменилось, то для экономии времени просто ставлю знак "+".

y= sinx	y= sin(x –  )
D(y): x R	не изменилось
E(y): y  [–1; 1]	не изменилось
yнаиб. = 1,  при х= /2 + 2 n	не изменилось при х= – /2 + 2 n
yнаим. = – 1,  при х= – /2 + 2 n	не изменилось при х=  /2 + 2 n
нечетная функция	не изменилось
T=2	не изменилось
у=0, при х= n	не изменилось
у>0, х (2 n;  + 2 n)	(– +2 n;  2 n)
у<0, х (– +2 n; 2 n)	(2 n;  + 2 n)
возр. х [– /2+2 n;  /2+ 2 n]	[ /2+2 n;  3 /2+ 2 n]
убыв. [ /2+2 n;  3 /2+ 2 n]	[– /2+2 n;  /2+ 2 n]

Здесь, везде n Z.

Задание 2. Работаем аналогично.

y=cosx	y=cosx + 2
D(y): x R	не изменилось
E(y): y  [–1; 1]	E(y): y  [1; 3]
yнаиб. = 1,  при х=2 n	yнаиб. = 3,  не изменилось
yнаим. = – 1,  при х=  + 2 n	yнаим. =  1,  не изменилось
четная	не изменилос
T=2	не изменилось
у=0, при х= /2+ n	нулей ф-и нет
у>0, х (– /2+2 n;  /2+ 2 n)	у>0, x R
у<0, х ( /2+2 n;  3 /2+ 2 n)	значений нет
возр. х [– +2 n;  2 n]	не изменилось
убыв. [2 n;  + 2 n]	не изменилось

Здесь, везде n Z.

Задание 3. Решить самостоятельно, с последующей проверкой.

Решите примеры:

Задание 1. Функция y=sin(x + 3 ). 

1. Какое преобразование надо выполнить и что произойдет с данным графиком?

2. Почему же при этом преобразовании графики полностью совместились?

3. Приведите свои примеры таких функций? 

Задание 2. Функция y=cos(x + 3 ). 

4. Какое преобразование надо выполнить и что произойдет с данным графиком?

5. Почему же при этом преобразовании графики полностью совместились?

6. Приведите свои примеры таких функций?

Вопросы для самоконтроля:

1. Как преобразуются графики тригонометрических функции?

2. Что такое «синусоида»?

3. Что такое «косинусоида»?

4. Что такой параллельный перенос графика?

Рекомендуемая литература: