Свойства числовых последовательностей.

Числовая последовательность – частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.

Определение. Последовательность {y_n} называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:

y₁< y₂< y₃< … < y_n < y_n+1< ….

Определение. Последовательность {y_n} называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:

y₁> y₂> y₃> … > y_n > y_n+1> … .

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.

Пример 1. y₁ = 1; y_n = n²– возрастающая последовательность.

Пример 2. y₁ = 1;   – убывающая последовательность.

Пример 3. y₁ = 1;   – эта последовательность не является не возрастающей не убывающей.

Определение. Последовательность называется периодической, если существует такое натуральное число T, что начиная с некоторого n, выполняется равенство y_n = y_n+T . Число T называется длиной периода.

Пример. Последовательность   периодична с длиной периода T= 2.

Арифметическая прогрессия.

Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d – разностью арифметической прогрессии.

Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность {a_n}, заданная рекуррентно соотношениями

a₁ = a, a_n = a_n–1 + d (n = 2, 3, 4, …)(a и d – заданные числа).

Пример. 1, 3, 5, 7, 9, 11, … – возрастающая арифметическая прогрессия, у которой a₁ = 1, d = 2.

Пример. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, –1, –4,… – убывающая арифметическая прогрессия, у которой a₁ = 20, d = –3.

Нетрудно найти явное (формульное) выражение a_n через n. Величина очередного элемента возрастает на d по сравнению с предыдущим, таким образом, величина n элемента возрастет на величину (n – 1)d по сравнению с первым членом арифметической прогрессии, т.е.

a_n = a₁ + d(n – 1).

Это формула n-го члена арифметической прогрессии.

Используя явное выражение a_n через n, можно доказать следующее свойство арифметической прогрессии: если натуральные числа i, j, k, l таковы, что i + j = k + l, то a_i + a_j= a_k + a_l. Чтобы в этом убедиться, достаточно подставить i, j, k и l вместо n в формулу n-го члена арифметической прогрессии и сложить. Отсюда следует, что если рассматривать первые n членов арифметической прогрессии, то суммы членов, равно отстоящих от концов, будут одинаковы:

a₁ + a_n = a₂ + a_n–1 = a₃ + a_n–2 = … = 2a₁ + (n – 1)d.

Последнее равенство позволяет вычислить сумму первых n членов арифметической прогрессии:

S_n = a₁ + a2 + … + a_n–1 + a_n.

С этой целью берется еще одна такая же сумма, но слагаемые записывается в обратном порядке:

S_n = a_n + a_n–1 + … + a₂ + a₁.

Далее она складывается почленно с исходной суммой, причем слагаемые сразу попарно группируются. В результате

2S_n = (a₁ + a_n) + (a₂ + a_n–1) + … + (a_n + a₁) = n(2a₁ + (n – 1)d),

откуда  . Это формула суммы n членов арифметической прогрессии.

Арифметической прогрессия названа потому, что в ней каждый член, кроме первого, равен среднему арифметическому двух соседних с ним – предыдущего и последующего. Действительно, так как

a_n = a_n–1 + d;

a_n = a_n+1 – d.

двух последних равенств дает  .

Таким образом, верна следующая теорема (характеристическое свойство арифметической прогрессии). Числовая последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

Пример. При каком значении x числа 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 образуют конечную арифметическую прогрессию?

Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Решение этого уравнения дает x = –5,5. При этом значении x заданные выражения 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 принимают, соответственно, значения –14,5, –31,5, –48,5. Это – арифметическая прогрессия, ее разность равна –17.