Дополнительные источники:
Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2000.
Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 10 (11) кл. – М., 2000.
Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 10 кл. – М., 2005.
Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 11 кл. – М., 2005.
Башмаков М.И. Математика (базовый уровень). 10—11 кл. – М., 2005.
Башмаков М.И. Математика: 10 кл. Сборник задач: учеб. пособие. – М., 2004.
Башмаков М.И. Математика: учебник для 10 кл. – М., 2004.
Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2000.
Колягин Ю.М. и др. Математика (Книга 1). – М., 2003.
Колягин Ю.М. и др. Математика (Книга 2). – М., 2003.
Луканкин Г.Л., Луканкин А.Г. Математика. Ч. 1: учебное пособие для учреждений начального профессионального образования. – М., 2004.
Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. – М., 2003.
Смирнова И.М. Геометрия. 10 (11) кл. – М., 2000.
Интернет ресурсы:
Колмогоров А.Н. (ред.) — Алгебра и начала анализа: Электронная книга.Lib.mexmat.ru/books/3307
Алгебра и начала анализа. 10-11 класс. Учебник. Мордкович
e-ypok.ru/content/
«Математика для колледжей» Математический Портал – библиотека math-portal.ru
Тема 5. Координаты и векторы. Самостоятельная работа №12.
Тема: Координаты и векторы (решение задач).
Время выполнения задания – 8ч.
Цель работы: Закрепление знаний и умений по развитию понятия о координатах и векторах с помощью решения примеров и задач.
Теоретический материал.
Вектора применяются во многих науках, таких как: математика, физика, геометрия и многих других прикладных науках. На практике, они позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач. Поэтому, будущим специалистам очень важно понять теорию векторов и научиться решать задачи с ними.
Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по векторам, прочитать все определения и свойства.
Координаты вектора.
Пусть
задана прямоугольная декартова система
координат (ПДСК) 
и
произвольный вектор 
,
начало которого совпадает с началом
системы координат (рис. 1).
Определение:
Координатами
вектора
называются
проекции 
и 
данного
вектора на оси 
и 
соответственно:
Величина
называется абсциссой
вектора
,
а число
-
его ординатой.
То, что вектор
имеет
координаты
и
,
записывается следующим образом: 
.
Пример:
Запись 
означает,
что вектор
имеет
следующие координаты: абсцисса равна
5, ордината равна -2.
Сумма двух векторов, заданных координатами.
Пусть
заданы
и 
,
тогда вектор 
имеет
координаты 
(рис.
2).
Определение: Чтобы найти сумму двух векторов, заданных своими координатами, надо сложить их соответствующие координаты.
Пример: Заданы 
и 
.
Найти координаты вектора
Решение. 
Умножение вектора на число.
Если
задан
,
то тогда вектор 
имеет
координаты 
,
здесь 
-
некоторое число (рис. 3).
Определение: Чтобы умножить вектор на число, надо каждую координату этого вектора умножить на заданное число.
Пример: Вектор 
.
Найти координаты вектора 
Решение. 
Рассмотрим
далее случай, когда начало вектора не
совпадает с началом системы координат.
Предположим, что в ПДСК заданы две
точки 
и 
.
Тогда координаты вектора 
находятся
по формулам (рис. 4):
Определение: Чтобы найти координаты вектора, заданного координатами начала и конца, надо от координат конца отнять соответствующие координаты начала.
Пример: Найти
координаты вектора 
,
если 
Решение. 
Направляющие косинусы.
Определение: Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов, образованных вектором с положительными направлениями осей координат.
Направление вектора однозначно задается направляющими косинусами. Для единичного вектора направляющие косинусы равны его координатам.
Если
в пространстве задан вектор 
,
то его направляющие косинусы вычисляются
по формулам:
Здесь 
, 
и 
-
углы, которые составляет вектор с
положительными
Основное свойство направляющих косинусов.
Определение: Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.
.
Если известны направляющие косинусы вектора , то его координаты могут быть найдены по формулам:
.
Аналогичные формулы имеют место и в трехмерном случае - если известны направляющие косинусы вектора , то его координаты могут быть найдены по формулам:
.
Длина (модуль) вектора.
Определение:
Длиной
(модулем) вектора
называется неотрицательное
число,
равное расстоянию между его началом и
концом, то есть длина вектора - это длина
отрезка 
.
Длина
обозначается 
Длина
нулевого вектора 
равна
нулю. Длина единичного вектора 
равна
единице.
Если
вектор задан своими
координатами: 
,
то его длина находится по формуле:
Определение: Длина вектора, заданного координатами, равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.
Пример: Найти
длину 
Решение. Используя формулу, получаем:
Угол между векторами.
Пусть
заданы два произвольных ненулевых
вектора
и 
.
Приведем их к общему началу, для этого
отложим от некоторой точки 
векторы 
и 
,
равные соответственно заданным
векторам
и
(рис.
1).
Определение:
Углом
между векторами
и
называется
угол 
.
Угол между сонаправленными векторами равен 0°, а между противоположно направленными - 180°.
Определение: Два вектора называются перпендикулярными или ортогональными, если угол между ними равен 90°.
Угол
между двумя векторами
, 
заданными своими
координатами,
вычисляется по формуле:
Пример: Известно,
что скалярное
произведение двух
векторов 
,
а их длины 
.
Найти угол между векторами
и
.
Решение. Косинус искомого угла:
Пример: Найти
угол между векторами 
и 
Решение. Косинус искомого угла:
Разложение вектора по ортам координатных осей.
Определение: Система ортов (или базисная система векторов) - это система единичных векторов осей координат.
Орт
координатной оси
обозначается
через 
,
оси
-
через 
,
оси 
-
через 
(рис.
1).
Для
любого вектора
,
который лежит в плоскости
,
имеет место следующее разложение:
.
Если
вектор
расположен
в пространстве, то разложение по ортам
координатных осей имеет вид: 
.
Пример: Зная
разложение
по
базисной системе векторов: 
,
записать координаты этого вектора в
пространстве.
Решение. Коэффициенты
при ортах и есть координатами вектора,
поэтому из того, что 
,
получаем, что 
Пример: Вектор
задан
своими координатами: 
.
Записать разложение данного вектора
по ортам осей координат.
Решение. Координаты вектора - это коэффициенты при ортах координатных осей в разложении вектора по базисной системе, поэтому искомое разложение:
Скалярное произведение векторов.
Определение: Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
Пример: Вычислить скалярное произведение векторов и , если их длины соответственно равны 2 и 3, а угол между ними 60°.
Решение. Так
как из условия 
, 
,
а 
,
то
Если
хотя бы один из векторов
или
равен
нулевому вектору, то 
.
Свойства скалярного произведения:
1° 
-
симметричность.
2° 
.
Обозначается 
и
называется скалярный
квадрат.
3°
Если 
,
то 
4°
Если
и 
и
,
то 
.
Верно и обратное утверждение.
5° 
6° 
7° 
Если векторы и заданы своими координатами: , , то их скалярное произведение вычисляется по формуле:
Решение примеров и задач (алгоритм выполнения задания):
1.Координаты вектора.
Пример1: Запись означает, что вектор имеет следующие координаты: абсцисса равна 5, ордината равна -2.
Пример2: Заданы векторы и . Найти координаты вектора .
Решение.
Пример3: Вектор . Найти координаты вектора .
Решение. .
Пример4: Найти координаты вектора , если .
Решение. .
2.Длина (модуль) вектора.
Пример1: Найти
длину вектора 
.
Решение. Используя формулу, получаем:
.
Пример2: Найти длину вектора .
Решение. Используя формулу, получаем:
.
3.Угол между векторами.
Пример1: Известно, что скалярное произведение двух векторов , а их длины . Найти угол между векторами и .
Решение. Косинус искомого угла:
.
Пример2: Найти
угол между векторами 
и 
.
Решение. Косинус искомого угла
.
Пример3: Найти угол между векторами и .
Решение. Косинус искомого угла:
.
4.Разложение вектора по ортам координатных осей.
Пример1: Зная разложения вектора по базисной системе векторов: , записать координаты этого вектора в пространстве.
Решение. Коэффициенты при ортах и есть координатами вектора, поэтому из того, что , получаем, что
Пример2: Вектор задан своими координатами: . Записать разложение данного вектора по ортам осей координат.
Решение. Координаты вектора - это коэффициенты при ортах координатных осей в разложении вектора по базисной системе векторов, поэтому искомое разложение:
.
5.Скалярное произведение векторов.
Пример1: Вычислить скалярное произведение векторов и , если их длины соответственно равны 2 и 3, а угол между ними 60°.
Решение. Так как из условия , , а , то
.
Пример2: Найти
скалярное произведение векторов 
и 
Решение. Скалярное произведение
.
Решите примеры:
1.Координаты вектора.
Пример
1: Заданы
векторы
и 
.
Найти координаты вектора
.
Пример 2: Вектор . Найти координаты вектора .
Пример
3: Найти
координаты вектора 
,
если
.
2.Длина (модуль) вектора.
Пример1: Найти
длину вектора 
.
Пример2: Найти
длину вектора 
.
3.Угол между векторами.
Пример1: Известно,
что скалярное произведение двух
векторов
,
а их длины
и
.
Найти угол между векторами
и
.
Пример2: Найти
угол между векторами
и 
.
4.Разложение вектора по ортам координатных осей.
Пример1: Зная
разложения вектора 
по
базисной системе векторов:
,
записать координаты этого вектора в
пространстве.
Пример2: Вектор
задан
своими координатами:
.
Записать разложение данного вектора
по ортам осей координат.
5.Скалярное произведение векторов.
Пример1: Вычислить
скалярное произведение векторов
и
,
если их длины соответственно равны 4 и
,
а угол между ними 30°.
Пример2: Вычислить
скалярное произведение векторов
и
,
если их длины соответственно равны 5 и
,
а угол между ними 45°.
Пример3: Найти
скалярное произведение векторов
и 
.
Пример4: Найти
скалярное произведение векторов
и 
.
Вопросы для самоконтроля:
1. Как записывается вектор?
2. Что такое длина (модуль) вектора?
3. Что такое координаты вектора?
4. Что такое разложение вектора по ортам координатных осей?
5. Что такое скалярное произведение векторов ?
Рекомендуемая литература: