Решение задачи 8
Вначале надо изучить теоретический материал по темам:
Тема 3.3. Числовые ряды
Определение числового ряда. Понятие сходимости и расходимости ряда, его суммы. Необходимый признак сходимости. Ряды с положительными членами. Признаки сравнения. Признаки Коши и Даламбера.
Понятие знакочередующегося ряда. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимости.
Тема 3.4. Степенные ряды.
Понятие степенного ряда. Интервал сходимости степенного ряда. Теорема Абеля. Нахождение радиуса сходимости. Свойства степенных рядов.
Понятие о рядах Тейлора, Маклорена.
Теоретический материал и подробное решение типовых задач по этой теме можно найти в главе 13 учебника [4]; § 10-11 из [5] и в метод. указаниях [6].
Рекомендуемая литература
4. Кремер, Н. Ш. Высшая математика для экономистов : учебник / Н. Ш. Кре-мер, Б. А. Путко, И. М. Фридман. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2010.
5. Ермаков, В. И. Общий курс высшей математики для экономистов: учебник / В. И. Ермаков, Б. М. Рудык. – М.: ИНФРА-М, 2008.
6.Виленкин И.В. Практические указания по курсу «Математика» ( раздел «Ряды»).– Ростов н/Д. РИО Ростов. ф. РТА, 1998.
Приведем решения некоторых примеров:
1) Исследовать на сходимость ряд: .
Применим
признак эквивалентности (см. учебник
[4]). Запишем эквивалентность
~
при
.
Ряд
является p-гармоническим
с
.
Поэтому он сходится (см. пример 7). Таким
образом, исходный ряд сходится по
признаку эквивалентности.
2) Исследовать на сходимость ряд: .
Так
как
при
,
то можно применить эквивалентность:
~
.
Тогда получаем:
~
.
Ряд
сходится как ряд, составленный из членов
геометрической прогрессии с частным
.
Значит исходный ряд также сходится по
признаку эквивалентности .
5) Исследовать на сходимость ряд:
1)
Найдем радиус сходимости степенного
ряда по теореме 10:
.
Здесь
и
(из теории пределов известно, что
).
Таким образом,
.
При
исходный ряд превращается в ряд
,
который сходится, как p-гармонический
с p=
>1
(см. пример 7).
При
получаем ряд
,
который сходится абсолютно (см. пункт
2 задачи 2).
Полная область сходимости хорошо видна на схеме:
2. Контрольные задания Вариант № 1
1. Вычислить пределы
2. Найти производную
3. Исследовать функцию и построить ее график
4. Вычислить неопределенные интегралы
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
5. Вычислить определенные интегралы
1.
2.
.
6. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками следующих функций:
.
7. Решить дифференциальные уравнения
1)
;
2)
;
3)
4)
8. Исследовать на сходимость следующие ряды:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
Вариант № 2
1. Вычислить пределы
2. Найти производную
3. Исследовать функцию и построить ее график
4. Вычислить неопределенные интегралы:
-
1)
4)
2)
5)
3)
6)
7)
8)
9)
10)
5. Вычислить определенные интегралы
1. 2. .
6.
Найти площадь фигуры, ограниченной
графиками следующих функций:
7. Решить дифференциальные уравнения
1)
;
2)
3)
4)
8. Исследовать на сходимость следующие ряды:
1) . |
2)
|
3) ; |
4)
|
.