Тематика заданий работы

Контрольная работа включает в себя выполнение заданий следующих видов:

1. Дифференциальное исчисление.

2. Интегральное исчисление.

3. Решение линейных, однородных дифференциальных уравнений 1-го порядка и линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка.

4. Ряды.

Типовой вариант и образец решения

Часть I. «Дифференциальное и интегральное исчисление»

Задача 1. Вычислить пределы:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

Решение задачи 1

Прежде чем приступить к решению примеров, надо изучить теоретический материал по вопросам:

1. Понятие предела функции. Основные теоремы о пределах.

2. Замечательные пределы.

3. Эквивалентные бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Теоретический материал и подробное решение типовых примеров по этой теме можно найти в главе 4, §2-5 учебника [1]; в главе 3 из [2].

Приведем вычисление некоторых пределов:

1) Здесь имеет место неопределенность . Разложим на множители числитель и знаменатель дроби:

.

3) Из цепочки эквивалентностей ( на стр. 172 учебника [1]) получаем и . Заменяя эквивалентной ей функцией и – функцией , получаем:

.

4) Решение этого примера аналогично решению примера 3. При , . Заменяя числитель и знаменатель эквивалентными им функциями, получаем:

.

Задача 2. Вычислить производные следующих функций.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Решение задачи 2

Для решения примеров на вычисление производной необходимо выучить наизусть правила дифференцирования, таблицу производных, а также нужно хорошо разбираться в порядке следования операций в математическом выражении. Весь этот материал изложен в главе 5, §1-3 учебника [1]; в главе 4 из [2] , где также вычислено большое число производных и приведены замечания, полезные при дифференцировании.

1) .

2)

.

3)

.

4) Задача 3. Исследовать функцию у= и построить ее график.

Решение задачи 3

Исследование функций и построение графиков подробно изложено в главе 7, §1-4 учебника [1]; в главе 5 из [2] .

Изложим план, по которому целесообразно проводить исследование функции с целью построения ее графика:

1) находим область определения функции; выясним, где она непрерывна; находим вертикальные асимптоты;

2). находим точки пересечения графика функции с координатными осями;

3) выясняем, является ли функция четной (у(-х)=у(х)), нечетной (у(-х)=-у(х)) или это функция общего вида;

4) исследуем поведение функции при переходе к точкам разрыва слева и справа, тем самым, выясняя, как график функции подходит к вертикальным асимптотам;

5) находим невертикальные асимптоты графика функции;

6)выясняем расположение графика относительно невертикальной асимптоты, определяя знак разности:

(х)=f(x)-y_{асимптоты}. Там, где (х)0- график функции лежит под асимптотой, где (х)0-график функции над асимптотой, а где (х)=0- график пересекает асимптоту (при конечных значениях х это возможно);.

7) если невертикальных асимптот нет, то поведение графика на бесконечности выясняем, вычисляя

и ;

8) с помощью первой производной f(x) находим интервалы монотонности функции и точки экстремума;

9) с помощью второй производной f(x) находим интервалы выпуклости, и точки перегиба графика;

10) завершаем построение графика, используя всю предыдущую информацию. В случае необходимости рекомендуем наносить на рисунок элементы графика после каждого пункта исследования.

Исследовать функцию у= и построить ее график.

Решение:

1). Данная функция определена и непрерывна на всей числовой оси, за исключением х=1. В этой точке функция терпит разрыв. Поэтому прямая х=1 является вертикальной асимптотой графика.

2). Находим точку пересечения графика с осью Ох, для чего полагаем в уравнении кривой у=0. Получаем х=0. Таким образом, данный график пересекает ось Ох в начале координат. Для нахождения точки пересечения Оу полагаем х=0; тогда у=0, т.е. ось Оу графика пересекает тоже в начале координат. Других точек пересечения с осями график не имеет. Для установления интервалов знакопостоянства заметим, что знаменатель функции в области определения всюду положителен. Значит, имеем: при х0у0, а при х0у0.

3). .

Так как у(-х) у(х), то функция не является четной;

так как у(-х)-у(х), то функция не является нечетной. Значит, она общего вида.

4).

так как у0 при х1 и слева и справа.

5). Находим невертикальные асимптоты

Итак, невертикальная асимптота имеет уравнение

у=х+2.

6).

Теперь ясно, что при х : (х)0, при х : (х)0, а при х= :(х)=0

После пунктов 5) и 6) график можно дополнить. Слева от точки он расположен под асимптотой; в частности, при х- приближается к ней снизу. Когда х= график пересекает асимптоту и при х он находится над асимптотой, поэтому при х+ приближается к ней сверху.

8).y=

Обратим внимание на технику преобразований: надо по возможности выносить общие множители за скобки, а не раскрывать все скобки сразу. Приравнивая у=0, получаем критические точки х₁=0, х₂=3. Учитывая еще точку разрыва функции х=1, разбиваем числовую ось на интервалы знакопостоянства производной:

(-,0);(0,1);(1,3);(3,+).

Выбирая по одной точке в каждом интервале, определяем эти знаки:

у(-1)0, у 0, у(2)0, у(4)0.

Составляем таблицу для определения интервалов монотонности функции и ее экстремумов:

х	-;0	0	0;1	1;3	3	3;+
у	+	0	+	-	0	+
у		0
Характер точек критических		Нет экстр.	разрыв		min

9).

у=0х=0; х=0 – точка, подозрительная на перегиб. Учитывая снова точку разрыва х=1, составим таблицу для определения интервалов выпуклости, вогнутости и точек перегиба графика:

х	-;0	0	0;1	1;+
у	-	0	+	+
у		0		
			разрыв

10).Завершаем построение графика, подсчитав дополнительно еще две точки (см. рис. 1).

у(-1)=- ,у(6)8,6

Рис. 1

Задача 4. Вычислить неопределенные интегралы:

Решение задачи 4

Для решения примеров на вычисление интегралов необходимо выучить наизусть правила интегрирования, таблицу интегралов, разобрать методы интегрирования. Весь этот материал изложен в главе 10, §1-4 учебника [1]; в главе 6 из [2] , где также вычислено большое число интегралов и приведены замечания, полезные при интегрировании. Приведем вычисление некоторых интегралов.

1) Используя свойство линейности, получаем:

Первый, второй, четвертый и пятый интегралы вычисляются по формуле 1 из таблицы интегралов, а третий интеграл вычисляется по формуле 2. В результате получаем:

5) Так как (sinx)^’=cosx, то полагаем sinx=t, cosxdx=dt (см. учебник [1], гл.10 «Метод замены переменной в неопределённом интеграле», §2). Таким образом

Возвращаясь к старой переменной, окончательно получаем:

9) Этот интеграл вычисляется по схеме, реализующей формулу интегрирования по частям:

.

Полагаем u=x и dv=e^3xdx. Первое из этих равенств продифференцируем, а второе — проинтегрируем: du=dx, Получаем:

Задача 5. Вычислить определенные интегралы 1) ; 2) .

Задача 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , .