Вычисление площадей плоских фигур
Площадь плоской фигуры в декартовых координатах
1) Пусть плоская фигура представляет собой криволинейную трапецию
т
о
есть фигуру, ограниченную линиями
,
,
,
,
где
– непрерывна на отрезке
и
.
Тогда ее площадь находится по формуле
.
2) Пусть фигуру
можно разбить на две криволинейные
трапеции: под графиком
на отрезке
и под графиком
на отрезке
.
Тогда ее площадь вычисляется по формуле
.
Пример. Вычислить
площадь сектора с углом
и радиусом
.
Р
асположим
сектор на координатной плоскости так,
чтобы его вершина находилась с начале
координат, и один из его радиусов лежал
в положительной части оси
.
Тогда сектор можно разбить на две
криволинейные трапеции, соответственно
его площадь
.
Здесь первое
слагаемое является площадью криволинейной
трапеции под графиком линейной функции
и вычисляется по формуле
.
Второе слагаемое
представляет собой площадь под дугой
окружности, задаваемой уравнением
.
Вычислим эту
площадь:
.
Сделаем в интеграле
замену переменной
.
Пересчитаем пределы
интегрирования: при
;
при
.
Подставляя
в
интеграл, получаем
Складывая две вычисленные площади, находим площадь сектора
.
3
)
Пусть плоская фигура ограничена: сверху
- графиком функции
,
;
снизу - графиком функции
,
;
по бокам - вертикальными отрезками
и
,
которые могут вырождаться в точку. Тогда
площадь этой фигуры равна разности
площадей соответствующих криволинейных
трапеций и вычисляется по формуле
.
Пример. Найти
площадь фигуры, ограниченной линиями
и
.
Найдем сначала абсциссы точек пересечения графиков данных функций. Для этого решаем систему уравнений
Отсюда находим
.
Искомая площадь вычисляется по формуле
.
Площадь фигуры, под графиком функции, заданной параметрически.
Пусть плоская фигура представляет собой криволинейную трапецию, верхняя граница которой задана параметрическими уравнениями
В этом случае площадь вычисляется по формуле
.
Пример. Вычислить площадь эллипса.
Зададим эллипс параметрическими уравнениями
Поскольку эллипс
симметричен относительно координатных
осей, то можно искать площадь четверти
эллипса, расположенной в первой
координатной четверти. Эта фигура
представляет собой криволинейную
трапецию, у которой абсцисса меняется
от
,
что соответствует значению параметра
,
до
,
что соответствует значению параметра
.
Подставляя в формулу, находим
.
Отсюда площадь
всего эллипса равна
.
Площадь плоской фигуры в полярных координатах.
В полярных координатах через определенный интеграл находится площадь криволинейного сектора.
Определение
Криволинейный
сектор – это фигура, ограниченная в
полярных координатах лучами
и графиком функции
.
Теорема. Если
функция
- непрерывна, то криволинейный сектор
– квадрируемая фигура и площадь его
находится по формуле
.
Доказательство.
Пусть
– разбиение отрезка
конечным набором точек
Тогда площадь
криволинейного сектора разбилась на n
частей. Обозначим через
часть площади криволинейного сектора,
ограниченного линиями
,
.
Если мелкость разбиения
достаточно мала, то
приближенно равна площади обычного
кругового сектора с углом
и радиусом
,
где
произвольная
точка из интервала
.
Тогда верно приближенное равенство
.
А так как площадь криволинейного сектора
равна
,
то получаем приближенное равенство
.
Здесь в правой
части интегральная сумма Римана для
функции
.
Поскольку функция
- непрерывна, то
интегрируема
и при
интегральные
суммы стремятся к интегралу Римана.
Таким образом получаем формулу
.
П
ример.
Найти площадь
фигуры, ограниченной лемнискатой
Бернулли, задаваемой уравнением
.
Перейдем к полярным
координатам
.
Тогда уравнение
кривой примет вид
или
.
Найдем область
определения функции из условия
.
Решая это неравенство,
находим
.
Функция имеет
период
,
значит ее график симметричен относительно
начала координат.
Так как
,
то график функции
также симметричен относительно оси
.
В силу симметрии достаточно найти
площадь части фигуры, расположенной в
первой четверти
.
Тогда площадь фигуры, ограниченной
лемнискатой
.