2.2 Построение начального базисного плана перевозок

Метод северо-западного угла. Назначение перевозок х_ij начинаем с верхней левой клетки (северо-западного угла) таблицы. Положим х₁₁ = min (a₁, b₁). Если a₁ > b₁, то x₁₁ = b₁, вычеркиваем из матрицы столбец j =1, так как спрос первого потребителя полностью удовлетворен. Если a₁ < b₁, то x₁₁ = a₁, вычеркиваем строку i = 1, так как в этом случае полностью исчерпаны запасы первого поставщика. Если a₁ = b₁, то вычеркиваем и строку i = 1, и столбец j = 1 одновременно. Вычеркнув ряд, соответствующий min (a₁, b₁), корректируем запасы и потребности первого поставщика и первого потребителя на величину x₁₁. С оставшейся матрицей поступим аналогично предыдущему. Продолжая действовать по этой схеме, исчерпаем запасы поставщиков и удовлетворим запросы потребителей. На последнем шаге процесса получится матрица 1  1, в которой одновременно вычеркиваем и строку, и столбец.

Метод северо-западного угла не учитывает матрицу тарифов, поэтому начальный план может оказаться далеким от оптимального. Более близким к оптимальному обычно является план, построенный методом минимальной стоимости или методом двойного предпочтения.

Метод минимальной стоимости. Находим клетку с наименьшей стоимостью перевозки . Если , то , вычеркиваем столбец j₀, запасы поставщика i₀ корректируем, т. е. считаем равными ; если , то , вычеркиваем строку i₀, потребности потребителя j₀ считаем равными ; если же , то , вычеркиваем и строку i = i₀, и столбец j = j₀ одновременно. Вычеркнув один из рядов матрицы и скорректировав либо запасы поставщика, либо потребности получателя на величину , с оставшейся матрицей меньшего размера поступаем аналогично предыдущему. На последнем шаге в матрице 1  1 одновременно убираем и строку, и столбец.

Построенный начальный план перевозок должен быть базисным, т. е. число назначенных перевозок x_ij должно быть равно m + n – 1. Если это условие не выполняется, а условие общего баланса выполнено, то построенный начальный план – вырожденный. Для построения базисного плана в исходный план вводят нулевые перевозки так, чтобы не образовывался замкнутый контур из назначенных перевозок. Заполнение клеток нулем не влияет на экономическую оценку решения, но оно необходимо для получения начального базисного плана и для поиска оптимального решения.

Замкнутым контуром (циклом) в матрице называется непрерывная замкнутая ломаная линия, вершины которой находятся в загруженных клетках матрицы, а звенья расположены вдоль строк и столбцов. Причем в каждой вершине замкнутого контура встречаются ровно два звена; одно из них располагается по строке, другое – по столбцу, таким образом, звенья образуют прямой угол. Если замкнутый контур образует самопересекающаяся ломаная линия, то точки ее самопересечения вершин не образуют. Примеры некоторых замкнутых контуров показаны на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1 – Примеры форм замкнутых контуров

^{При правильном построении плана перевозок, начиная с любой незагруженной клетки можно построить лишь один замкнутый контур.}