1 Решение производственных задач методами ЛинейноГо программированиЯ

1.1 Примеры производственных задач и постановка задачи линейного программирования

Линейное программирование (ЛП) – раздел математического программирования, содержащий методы отыскания экстремума (максимума или минимума) линейных функций нескольких переменных при линейных ограничениях, наложенных на переменные. В зависимости от типа решаемых задач методы ЛП можно разделить на универсальные и специальные. С помощью универсальных методов могут решаться любые задачи ЛП. Специальные методы учитывают особенности целевой функции и системы ограничений.

Рассмотрим примеры производственных задач, которые могут быть решены методами линейного программирования.

Задача оптимального использования ресурсов. Имеется т видов ресурсов, объемы которых заданы вектором B = ( b₁,  b₂, …, b_m ). Задана матрица A=||a_ij||, где a_ij – норма расхода i-го ресурса ( ) на производство единицы j -го вида продукции ( ). Прибыль от выпуска единицы j-го вида продукции составляет р_j. Требуется определить план выпуска продукции X = (x₁, x₂, …, x_n), максимизирующий прибыль предприятия при заданных ресурсах.

Математическая модель задачи может быть записана в следующем виде:

(1.1) при ограничениях:

на затраты ресурсов

(1.2) условие неотрицательности

(1.3) В качестве критерия оптимальности в данной задаче также могут быть приняты: минимум затрат на производство продукции, максимум выпуска продукции в стоимостном выражении, максимум использования оборудования и др. Ограничения могут быть связаны с фондом времени работы оборудования, ассортиментом выпускаемой продукции.

Задача распределения парка машин механизированной колонны по участкам земляных работ. Имеется механизированная колонна, располагающая парком из m типов машин. Задана производственная программа колонны на требуемый промежуток времени, в течение которого она должна выполнить земляные работы на n участках. Объем работ на каждом участке равен v_j ( ). Фонд рабочего времени механизмов каждого типа в течение планируемого периода составляет d_i ( ) (машино-смен). Известны также сменная производительность машины i-го типа на j -м участке работ p_ij ( , ) и затраты на разработку 1 м³ грунта на j -м участке с использованием машины i-го типа c_ij ( , ). Требуется найти такой план распределения парка машин механизированной колонны по участкам работ, который обеспечивает выполнение всех работ в полном объеме и с минимальными суммарными приведенными затратами.

Обозначим искомую продолжительность работы в сменах машины i-го типа на j -м участке через x_ij ( , ).

Математическая модель задачи может быть записана в следующем виде:

(1.4) при ограничениях:

на объем работ на каждом участке, который должен быть выполнен полностью

(1.5)

а фонд рабочего времени машин

(1.6) условие неотрицательности

(1.7)

Задача размещения звеносборочных баз при ведении укладки пути на рассредоточенных объектах. Строительный трест, ведущий путеукладочные работы на рассредоточенных объектах с небольшими объемами работ, имеет m звеносборочных баз, которые возможно расположить на обслуживаемой территории. Планом предусмотрено n мест укладки пути с объемами работ b_j ( ). Себестоимость сборки и укладки звеньев пути в зависимости от объема сборки на базе составляет c_i ( ) ден. ед., стоимость перевозки 1 км звеньев пути от i-й базы до j -го места укладки пути – t_ij ( , ) ден.ед.

В условиях ведения укладки пути на рассредоточенных объектах возникает необходимость в определении оптимального размещения звеносборочных баз строительных трестов, т. е. такого размещения, при котором суммарные затраты на весь технологический комплекс путеукладочных работ будут минимальными.

Обозначим через x_i ( ) объемы сборки и укладки звеньев пути на i-й базе, а через x_ij ( , ) – объемы звеньев, собранных на i-й базе и укладываемых на j -м объекте.

Математическая модель задачи может быть записана в следующем виде:

(1.8) при ограничениях:

все собранные на i-й базе звенья пути должны быть уложены на одном или нескольких объектах

(1.9) объем укладки пути на j -м объекте должен быть обеспечен поставкой звеньев с одной или нескольких баз

(1.10) общий потребный объем механизированной сборки и укладки пути должен быть равен объему сборки и укладки по всем звеносборочно-укладочным базам

, (1.11) условие неотрицательности

(1.12)

В общем виде задача ЛП сводится к нахождению некоторой совокупности значений переменных X = (x₁, x₂, …, x_n), доставляющих линейной функции цели экстремальное значение и удовлетворяющих системе ограничений в виде равенств или неравенств.

Математическая модель задачи ЛП формулируется следующим образом:

найти план X = (x₁, x₂, …, x_n), который доставляет экстремум функции

(1.13) при системе ограничений:

(1.14) (1.15) (1.16) . (1.17) Линейная функция (1.13) называется целевой функцией; множество планов Х, удовлетворяющих системе ограничений (1.14) – (1.17), называется множеством допустимых решений , . Допустимый план , доставляющий целевой функции (1.13) экстремальное значение, называется оптимальным.

Если целевая функция подлежит максимизации, а все ограничения задачи имеют вид равенств и на все переменные величины наложено условие неотрицательности , то говорят, что задача представлена в канонической форме записи:

(1.18) Любую задачу линейного программирования можно свести к задаче линейного программирования в канонической форме записи.

Правило приведения задачи линейного программирования к канонической форме записи состоит в следующем:

1) если в исходной задаче требуется минимизировать целевую функцию z(X), то необходимо перейти от задачи на минимум к задаче на максимум. Очевидно, что максимизация целевой функции z(Х) на области допустимых решений эквивалентна задаче минимизации функции – z (Х) на той же области:

(1.19)

2) если среди ограничений есть неравенства, то необходимо перейти от ограничений в виде неравенств к ограничениям в виде равенств. Для этого вводят неотрицательные дополнительные переменные x_n+i  0, , которые прибавляются к левым частям ограничений (1.15) и вычитаются из левых частей ограничений (1.16). В целевую функцию (1.13) дополнительные переменные вводятся с коэффициентами, равными нулю;

3) если в исходной задаче на некоторые переменные x_j ( ) не наложено условие неотрицательности, то их представляют в виде разности неотрицательных переменных:

(1.20)