Конспект лекций по математическим моделям в транспортных системах (специальности за, заб)

Введение

В современных условиях развития рыночных отношений, договорных цен и стремительного изменения экономической ситуации, выработка эффективных экономических и управленческих решений должна осуществляться на основе анализа всей имеющейся информации о рассматриваемом процессе. Для решения этой задачи в настоящее время широко используются методы математического моделирования.

Моделирование представляет собой процесс замещения изучаемого объекта или процесса некоторой его моделью и проведение исследований на модели с целью получения необходимой информации об объекте. В общем случае, под моделью понимается физический или абстрактный образец моделируемого объекта (или процесса), удобный для проведения исследований и позволяющий адекватно отображать интересующие исследователя свойства и характеристики объекта (процесса).

Модели позволяют:

– исследовать свойства реальных объектов и процессов;

– прогнозировать поведение объекта или процесса при различных условиях;

– определять оптимальные способы управления объектами или процессами.

В современных условиях наибольшее распространение получило математическое моделирование, основанное на использовании математических моделей изучаемых объектов и процессов. Масштабное и успешное применение математического моделирования вызвано, в частности, широкими возможностями для его реализации вычислительной техники.

Математическая модель представляет собой приближенное представление реальных объектов, процессов или систем, выраженное в математических терминах и отражающее существенные черты оригинала.

Необходимо отметить тот факт, что в силу высокой сложности изучаемых процессов, учет всех условий реальных задач для построения их математических моделей в большинстве случаев становится невозможным. Поэтому важно понимать, что любая модель представляет оригинал только в некотором определенном смысле. Следовательно, для одного и того же объекта могут быть построены несколько различных математических моделей, отражающих его разные свойства, или описывающих этот объект с разной степенью детализации.

Математическое программирование, представляет собой класс методов, предназначенных для отыскания экстремума заданной функции при определенных ограничениях.

В общем виде задача математического программирования может быть записана следующим образом: определить такие значения переменных , которые доставляют экстремальное значение (т. е. максимум или минимум) функции

(I)

при ограничениях

. (II)

Величины , так называемые переменные задачи, представляют собой возможные варианты решения, из которых требуется выбрать наилучший вариант.

Функция (I) называется целевой функцией, поскольку она отражает цель оптимизации, т. е. определяет, в каком смысле лучшее решение нас интересует.

Соотношения (II) определяют условия (ограничения) задачи, в которых необходимо принимать решение.

Например, если рассмотреть задачу определения оптимального плана производства продукции различных видов , то соотношения (II) описывают имеющиеся ограничения на план выпуска продукции, связанные, например, с существующими запасами сырья, ресурсами, технологическими возможностями производства, лимитами энергетических и трудовых ресурсов и т. д.

Возможные решения называют планами задачи.

Набор переменных , удовлетворяющий всем соотношениям системы (II) (т.е. всем ограничениям задачи), называется допустимым решением задачи или допустимым планом.

Допустимое решение называется оптимальным решением задачи (I)–(II), или оптимальным планом, если оно доставляет экстремум целевой функции задачи.

В зависимости от типа функций и , различают следующие важнейшие классы задач математического программирования.

Задача (I)–(II) называется задачей линейного программирования, если все функции и , являются линейными функциями относительно переменных . Методы решения задач линейного программирования применяются на промышленных предприятиях при оптимизации производственной программы, распределении ее по цехам, участкам и по временным интервалам, при ассортиментной загрузке оборудования, в задачах текущего, перспективного и технологического планирования, при планировании грузопотоков, определении плана товарооборота и его распределении, составлении оптимальных смесей, решении транспортных и производственно-транспортных задач и т. д.

Если хотя бы одна из функций или , – нелинейна, то задача (I)–(II) называется задачей нелинейного программирования. Нелинейное программирование используется при расчете оптимальной партии выпуска деталей, управлении комплектными поставками и запасами, распределении ограниченных ресурсов, оптимизации некоторых показателей производственно-экономической деятельности и т. д.

Если на переменные наложено условие дискретности (например, целочисленности их значений), то имеем задачу дискретного (целочисленного) программирования. Его методами решаются задачи оптимизации выпуска неделимой продукции, маршрутизации, календарного планирования, управления поставками при заданных транзитных нормах отпуска, размещения производственно-складской структуры и т. п.

– если целевая функция имеет специальную структуру, являясь аддитивной или мультипликативной , то задача (I)–(II) называется задачей динамического программирования. Таким методом решаются задачи текущего и перспективного планирования, управления производством, запасами и поставками, распределения ограниченных ресурсов, оптимального размещения капитальных вложений, замены оборудования и другие.