Функция полезности в случае двух продуктов

Удовлетворение, полученное индивидом в результате беспрерывного совместного потребления продуктов X и Y в количествах x и y соответственно, называют полезностью набора (x, y) и обозначают через U(x,y). Если оба продукта потребляются дискретно, то полезность обозначают также через U_ij.

В случае дискретной функции полезности предельной полезностью продукта X в наборе (i,j) называют добавочное удовлетворение, доставленное i- той единицей продукта X при постоянном количестве в наборе продукта Y, равном j: MU^x_ij=U_ij-U_i-1,j

Аналогично определяют предельную полезность продукта Y.

В случае непрерывной функции полезности предельные полезности продуктов определяются как частные производные функции полезности:

MU_x=dU/dx, MU_y=dU/dy.

Задача 3.

Функция полезности U=10ij, где i – количество яблок, j – количество груш. Найти предельную полезность груш в наборе (3,4).

Решение

Имеем: MU₃₄=U₃₄-U₃₃=120-90=30.

Задача 4.

Полезность равна 7xy², где x – количество яблок, y – количество груш. Найти предельную полезность яблок в наборе 4,5.

Решение

MU_x=(7xy²)¹=14xy. MU_x(4,5)=14*4*5-14*3*5=280-210=70.

Кардиналистская концепция потребительского спроса.

Как уже рассматривалось в части 1, она основана на трех аксиомах. Напомним их ещё раз:

Аксиома 1. Потребитель в состоянии выразить свое желание приобрести некоторое благо посредством количественной оценки его полезности. В действительности суждения о полезности весьма субъективны, изменчивы, что затрудняет проблему выбора состава и количества благ потребителем.

Аксиома 2. Предельная полезность блага убывает.

Аксиома 3. Потребитель стремится так расходовать свой бюджет, чтобы получить максимум полезности от совокупности приобретенных благ. Для достижения этой цели потребителю следует руководствоваться вторым законом Госсена, который гласит: максимум полезности обеспечивает такая структура покупок, при которой отношение предельной полезности(u) блага к его цене(P) одинаково для всех благ.

U_A/P_A=U_B/P_B=^,…=U_Z/P_Z и т. д.

Третья аксиома хорошо согласована с опытом и со здравым смыслом. Пока предельная полезность приобретаемых благ в расчете на единицу наших трат разная, имеет смысл перераспределять бюджетные средства в направлении выравнивания удельной полезности, т. е. полезности, приведенной к единице затрат на покупку.

Приступим к совместному решению задачи, разъясняющей смысл аксиомы 3.

Задача 5.

Индивид измеряет свою полезность с помощью следующей таблицы Менгера( Менгер К.(1840-1921) – основоположник австрийской школы маржинализма, один из создателей теории предельной полезности.).

Таблица 3. Количественное измерение полезности благ в ютилах.

Номер порции	Хлеб	Сухари	Крупа
1.	30	24	20
2.	20	22	16
3.	16	20	12
4.	14	14	6
5.	10	12	2

Допустим, что бюджет индивида составляет 252 рубля. На эти деньги он купил 3 кг хлеба по цене 20 руб. за кг, 4 кг сухарей по цене 28 руб. за кг и 2 кг крупы по цене 40 руб. за кг.

Убедимся расчетом, что в бюджетное ограничение он уложился. Общая стоимость продуктового набора составила:

20*3+28*4+40*2=252.

Однако нет уверенности, что потребитель наилучшим образом использовал бюджетные средства. Проверим основательность сомнений. Поделим предельные полезности на цены благ.

Предельная полезность хлеба определяется по третьему(замыкающему, предельному) кг. Она составляет 16 ютилов. Разделим ее на цену за килограмм хлеба. Имеем:

U_a/P_A=16/20=0,8.

Аналогично для сухарей имеем:

U_B/P_B=14/28=0,5.

Для крупы:

U_C/P_C=16/40=0,4.

Предельная полезность покупок в расчете на рубль затрат покупателя оказалась разной. Самая низкая она для крупы. Если отказаться от покупки второго кг крупы, то на высвобожденные деньги возможно приобрести 2 кг хлеба дополнительно. В результате предельным кг хлеба окажется пятый кг. Предельная полезность пятого килограмма хлеба в расчете на рубль затрат на покупку составит:

10/20=0,5.

Крупа будет приобретаться в количестве всего одного кг. Аналогичный показатель для крупы составит:

20/40=0,5.

Изменив структуру покупок, нам удалось уложиться в бюджетное ограничение, увеличив общую полезность. В самом деле. Исходная общая полезность составляла:

30+20+16+24+22+20+14+20+16=182 ютила. А после оптимизации плана покупок:

30+20+16+14+10+24+22+20+14+20=190 ютилов.