Практична 3. Теорія двоїстості та двоїсті оцінки в аналізі розв’язків лінійних оптимізаційних моделей. Аналіз лінійних моделей економічних задач
У наведених далі задачах виконати такі дії:
1) записати математичні моделі прямої та двоїстої задач;
2) записати оптимальні плани прямої та двоїстої задач, подати їх економічний аналіз;
3) визначити статус ресурсів, що використовуються для виробництва продукції, та рентабельність кожного виду продукції;
4) обчислити інтервали стійкості двоїстих оцінок стосовно зміни запасів дефіцитних ресурсів;
5) розрахувати інтервали можливих змін ціни одиниці рентабельної продукції.
Варіант 1
Підприємство виготовляє три види продукції А, В і С, використовуючи для цього три види ресурсів 1, 2, 3. Норми витрат усіх ресурсів на одиницю продукції та запаси ресурсів наведено в таблиці:
Ресурс |
Норма витрат на одиницю продукції за видами |
Запас ресурсу |
||
А |
В |
С |
||
1 |
18 |
15 |
12 |
360 |
2 |
6 |
4 |
8 |
192 |
3 |
5 |
3 |
3 |
180 |
Відома ціна одиниці продукції кожного виду: А — 9 ум. од., В — 10 ум. од. і С — 16 ум. од. Визначити план виробництва продукції, що забезпечує підприємству найбільший дохід.
Остання симплекс-таблиці даної задачі має такий вигляд:
Базис |
Сбаз |
План |
9 |
10 |
16 |
0 |
0 |
0 |
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
|||
х2 |
10 |
8 |
1 |
1 |
0 |
1/9 |
–1/6 |
0 |
х3 |
16 |
20 |
1/4 |
0 |
1 |
–1/18 |
5/24 |
0 |
х6 |
0 |
96 |
5/4 |
0 |
0 |
–1/6 |
–1/8 |
1 |
Zj – Cj ≥ 0 |
400 |
5 |
0 |
0 |
2/9 |
5/3 |
0 |
|
Варіант 2
Підприємство виготовляє продукцію А, В і С, для чого використовує три види ресурсів 1, 2, 3. Норма витрат усіх ресурсів на одиницю кожної продукції та обсяги ресурсів на підприємстві наведено в таблиці:
Ресурс |
Норма витрат на одиницю продукції за видами |
Запас ресурсу |
||
А |
В |
С |
||
1 |
4 |
2 |
1 |
180 |
2 |
3 |
1 |
3 |
210 |
3 |
1 |
2 |
5 |
244 |
Відома ціна одиниці продукції кожного виду: А — 10 ум. од., В — 14 ум. од. і С — 12 ум. од. Визначити план виробництва продукції, що забезпечує підприємству найбільший дохід.
Остання симплекс-таблиця, що містить оптимальний план задачі, має такий вигляд:
Базис |
Сбаз |
План |
10 |
14 |
12 |
0 |
0 |
0 |
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
|||
х2 |
14 |
82 |
19/8 |
1 |
0 |
5/8 |
0 |
–1/8 |
х5 |
0 |
80 |
23/8 |
0 |
0 |
1/8 |
1 |
–5/8 |
х3 |
12 |
16 |
–3/4 |
0 |
1 |
–1/4 |
0 |
1/4 |
Zj – Cj ≥ 0 |
1340 |
57/4 |
0 |
0 |
23/4 |
0 |
5/4 |
|
Варіант 3
Підприємство виготовляє продукцію чотирьох видів А, В, С і Д, для чого використовує три види ресурсів 1, 2, 3. Норми витрат ресурсів на одиницю продукції та запаси ресурсів на підприємстві наведено в таблиці:
Ресурс |
Норма витрат на одиницю продукції за видами |
Запас ресурсу |
|||
А |
В |
С |
Д |
||
1 |
2 |
1 |
1 |
1 |
280 |
2 |
1 |
— |
1 |
1 |
80 |
3 |
1 |
5 |
1 |
— |
250 |
Відома ціна одиниці продукції кожного виду продукції: А — 4 ум. од., В — 3 ум. од., С — 6 ум. од., Д — 7 ум. од. Визначити план виробництва продукції, який максимізує дохід підприємства.
Остання симплекс-таблиця має такий вигляд:
Базис |
Сбаз |
План |
4 |
3 |
6 |
7 |
0 |
0 |
0 |
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
х7 |
|||
х5 |
0 |
150 |
4/5 |
0 |
–1/5 |
0 |
1 |
–1 |
–1/5 |
х4 |
7 |
80 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
х2 |
3 |
50 |
1/5 |
1 |
1/5 |
0 |
0 |
0 |
1/5 |
Zj – Cj ≥ 0 |
710 |
18/5 |
0 |
8/5 |
0 |
0 |
7 |
3/5 |
|
Варіант 4
Підприємство виготовляє продукцію чотирьох видів з трьох видів ресурсів. Економічні показники виробництва наведено в таблиці. Визначити такий план виробництва продукції всіх видів, який забезпечить підприємству найбільший дохід.
Ресурс |
Норма витрат на одиницю продукції за видами |
Запас ресурсу |
|||
А |
В |
С |
Д |
||
1 |
6 |
1 |
2 |
4 |
300 |
2 |
5 |
2 |
2 |
4 |
200 |
3 |
2 |
3 |
1 |
1 |
90 |
Ціна продукції |
4 |
2 |
3 |
4 |
|
Симплекс-таблиця, що відповідає оптимальному плану задачі, має такий вигляд:
Базис |
Сбаз |
План |
4 |
2 |
3 |
4 |
0 |
0 |
0 |
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
х7 |
|||
х5 |
0 |
100 |
1 |
–1 |
0 |
0 |
1 |
–1 |
0 |
х4 |
4 |
10 |
1/2 |
–2 |
0 |
1 |
0 |
1/2 |
–1 |
х3 |
3 |
80 |
3/2 |
5 |
1 |
0 |
0 |
–1/2 |
2 |
Zj – Cj ≥ 0 |
280 |
5/2 |
5 |
0 |
0 |
0 |
1/2 |
2 |
|
Варіант 5
Підприємство виготовляє продукцію чотирьох видів А, В, С і Д. Для цього використовуються ресурси трьох видів 1, 2, 3. Основні економічні показники процесу виробництва продукції на підприємстві наведено в таблиці:
Ресурс |
Норма витрат на одиницю продукції за видами |
Запас ресурсу |
|||
А |
В |
С |
Д |
||
1 |
3 |
2 |
1 |
2 |
200 |
2 |
3 |
1 |
3 |
4 |
500 |
3 |
1 |
1 |
1 |
3 |
400 |
Ціна продукції |
27 |
10 |
15 |
28 |
|
Визначити план виробництва продукції, який забезпечує підприємству найбільший дохід.
Оптимальний план задачі подано у вигляді симплекс-таблиці:
Базис |
Сбаз |
План |
27 |
10 |
15 |
28 |
0 |
0 |
0 |
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
х7 |
|||
х4 |
28 |
50 |
3 |
5/2 |
0 |
1 |
3/2 |
–1/2 |
0 |
х3 |
15 |
100 |
–3 |
–3 |
1 |
0 |
–2 |
1 |
0 |
х7 |
0 |
150 |
–5 |
–7/2 |
0 |
0 |
–5/2 |
1/2 |
1 |
Zj – Cj ≥ 0 |
2900 |
12 |
15 |
0 |
0 |
12 |
1 |
0 |
|
Варіант 6
Підприємство виготовляє продукцію чотирьох видів і для цього використовує ресурси 1, 2, 3. Норми витрат усіх ресурсів на одиницю продукції, запаси ресурсів та ціну кожного виду продукції наведено в таблиці:
Ресурс |
Норма витрат на одиницю продукції за видами |
Запас ресурсу |
|||
А |
В |
С |
Д |
||
1 |
2 |
1 |
1 |
3 |
300 |
2 |
1 |
— |
2 |
1 |
70 |
3 |
1 |
2 |
1 |
— |
340 |
Ціна продукції |
8 |
3 |
2 |
1 |
|
Скласти план виробництва продукції, що забезпечить підприємству найбільший дохід.
Результати розв’язування задачі симплекс-методом наведено в таблиці:
Базис |
Сбаз |
План |
8 |
3 |
2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
х7 |
|||
х5 |
0 |
25 |
0 |
0 |
–5/2 |
3/2 |
1 |
–3/2 |
–1/2 |
х1 |
8 |
70 |
1 |
0 |
2 |
1 |
0 |
1 |
0 |
х2 |
3 |
135 |
0 |
1 |
–1/2 |
–1/2 |
0 |
–1/2 |
1/2 |
Zj – Cj ≥ 0 |
965 |
0 |
0 |
25/2 |
11/2 |
0 |
13/2 |
3/2 |
|
Варіант 7
Підприємство виготовляє продукцію чотирьох видів А, В, С і Д. Для цього в технологічному процесі використовують три види ресурсів 1, 2, 3. Норми витрат усіх ресурсів на одиницю продукції, запаси, а також ціну кожного виду продукції наведено в таблиці:
Ресурс |
Норма витрат на одиницю продукції за видами |
Запас ресурсу |
|||
А |
В |
С |
Д |
||
1 |
1 |
— |
2 |
1 |
180 |
2 |
— |
1 |
3 |
2 |
250 |
3 |
4 |
2 |
— |
4 |
800 |
Ціна продукції |
9 |
6 |
4 |
7 |
|
Остання симплекс-таблиця, що містить оптимальний план, має такий вигляд:
Базис |
Сбаз |
План |
9 |
6 |
4 |
7 |
0 |
0 |
0 |
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
х7 |
|||
х1 |
9 |
75 |
1 |
0 |
–3/2 |
0 |
0 |
–1/2 |
1/4 |
х5 |
0 |
105 |
0 |
0 |
7/2 |
1 |
1 |
1/2 |
–1/4 |
х2 |
6 |
250 |
0 |
1 |
3 |
2 |
0 |
1 |
0 |
Zj – Cj ≥ 0 |
2175 |
0 |
0 |
1/2 |
5 |
0 |
3/2 |
9/4 |
|
Приклад
Підприємство виготовляє 4 види продукції, використовуючи для цього три види ресурсів 1, 2, 3 (табл. 4). Визначити план виробництва продукції, що забезпечує підприємству найбільший дохід. Ціна одиниці продукції становить відповідно 7, 4, 2 та 1 у. о.
Таблиця 4
Норми витрат ресурсів на одиницю продукції та їх запаси
Ресурс |
Норма витрат на одиницю продукції, за видами |
Запас ресурсу |
|||
А |
В |
С |
D |
||
1 |
3 |
2 |
2 |
1 |
300 |
2 |
2 |
0 |
1 |
1 |
100 |
3 |
2 |
2 |
1 |
0 |
250 |
Записати економіко-математичні моделі прямої та двоїстої задач, симплекс-методом визначити їх оптимальні плани, провести економічний аналіз.
Розв’язання
Складемо економіко-математичну модель прямої задачі:
Остання симплекс-таблиця прямої задачі має наступний вигляд (табл. 5):
Таблиця 5
Застосування симплекс-методу – остання ітерація
Базис |
Сбаз |
План |
7 |
4 |
2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
х7 |
|||
x2 |
4 |
75 |
0 |
1 |
1/4 |
-1/4 |
1/2 |
-3/4 |
0 |
x1 |
7 |
50 |
1 |
0 |
1/2 |
1/2 |
0 |
1/2 |
0 |
x7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1/2 |
-1/2 |
-1 |
1/2 |
1 |
Zj – Cj ≥ 0 |
650 |
0 |
0 |
5/2 |
3/2 |
2 |
1/2 |
0 |
|
Отже, підприємству доцільно виготовляти 70 од. продукції А та 50 од. продукції В, що забезпечить дохід 650 у. о.
Економіко-математична модель двоїстої задачі наступна:
Змінна y1 двоїстої задачі пов’язана з x5 прямої, y2 – з х6, y3 – з х7.
Таким чином, оптимальний план двоїстої задачі y1= 2, y2=1/2, y3=0. Третя сировина не повністю використовується у виробництві, тому є недефіцитною.
Оптимальні значення цільових функцій прямої та двоїстої задачі однакові, тому мінімальна вартість ресурсів, що використовуються для виробництва продукції становить 285 у. о.