3. Логічні основи цт. Аксіоми Булевої алгебри, логічні елементи. Логічне проектування цифрових схем

Крім обчислювальних функцій у цифровій техніці можуть виконуватися операції, які пов’язані з визначенням і керування станами певних об’єктів. Для виконання таких дій використовується, так звана, алгебра логіки або Булева алгебра. Цей математичний апарат дозволяє аналізувати стан об’єктів і на основі результатів цього аналізу виконувати синтез схем цифрових пристроїв, а також виконувати керування роботою будь-яких об’єктів.

Для формального опису алгебра логіки використовує спеціальні змінні й функції, які мають назву логічних (Булевих). Логічна змінна − це змінна, яка може мати лише два значення L0 (логічний нуль) і L1 (логічна одиниця). Логічні змінні можуть поєднуватися за допомогою логічних функцій. Функція:

y = f(x₀, x₁, x₂ … x_n) при y, x_i

є n-розрядною логічною функцією, область значень якої визначена двійковою системою числення зі значеннями 0 і 1. логічні функції можуть визначатися у різний спосіб, наприклад, у вигляді аналітичної формули, яка є записом логічної функції, яка записана за допомогою символів, що відповідають операціям алгебри логіки і таблиці істинності, яка є найбільш наочним виглядом відповідної логічної функції.

Основні операцій алгебри логіки, які можуть бути реалізовані за допомогою відповідних логічних елементів розглянемо далі.

Операція НІ (NOT) − інверсія. Логічна функція y є інверсією якщо її значення є протилежним значенню змінної x. Аналітична форма запису цієї функції має вигляд:

Y = x .

Таблиця істинності й умовне позначення цього елементу показано на рис. 1.2.

x	Y
0	1
1	0

Рисунок 1.2 − Умовне позначення логічного елементу НІ та його таблиця істинності

Операція ТА (AND) − логічне множення (кон’юнкція). Логічна функція y дорівнює логічної одиниці, якщо всі змінні x дорівнюють логічної одиниці. Аналітична форма запису цієї функції має вигляд:

Умовне позначення елементу й його таблиця істинності наведена на рис. 1.3.

x1	x0	Y
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Рисунок 1.3 − Умовне позначення логічного елементу ТА і його таблиця істинності

Операція АБО (OR) − логічне додавання (диз’юнкція). Логічна функція y дорівнює логічної одиниці, якщо хоча б одна зі змінних x дорівнюють логічної одиниці. Аналітична форма запису цієї функції має вигляд:

У мовне позначення елементу й його таблиця істинності наведена на рис. 1.4.

x1	x0	Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Рисунок 1.4 − Умовне позначення логічного елементу АБО

У цифровій техніці також використовуються логічні функції, які є простими комбінаціями основних. До таких функцій відносяться наступні:

Операція ТА-НІ − логічне множення з інверсією. Ця логічна функція виконується як інверсія результату логічного множення, у спеціальній літературі також має назву «штрих Шеффера». Аналітична форма запису цієї функції має вигляд:

Умовне позначення елементу й його таблиця істинності наведена на рис. 1.5.

x1	x0	Y
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Рисунок 1.5 − Умовне позначення логічного елементу ТА-НІ та його таблиця істинності

Операція АБО-НІ − логічне додавання з інверсією. Ця логічна функція виконується як інверсія результату логічного додавання, у спеціальній літературі також має назву «стрілка Пірса». Аналітична форма запису цієї функції має вигляд:

Умовне позначення елементу й його таблиця істинності наведена на рис. 1.6.

x1	x0	Y
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

Рисунок 1.6 − Умовне позначення логічного елементу АБО-НІ та його таблиця істинності

Операція ТА-АБО-НІ. Елемент, який виконує таку операцію також використовується при побудуванні цифрових схем. Функція реалізовується при послідовному виконанні вказаних логічних операцій над чотирма вхідними логічними змінними. Аналітичний вираз цієї функції має наступний вигляд:

Умовне позначення елементу й його таблиця істинності наведена на рис. 1.7.

№	x3	x2	x1	x0	Y
0	0	0	0	0	1
1	0	0	0	1	1
2	0	0	1	0	1
3	0	0	1	1	0
4	0	1	0	0	1
5	0	1	0	1	1
6	0	1	1	0	1
7	0	1	1	1	0
8	1	0	0	0	1
9	1	0	0	1	1
10	1	0	1	0	1
11	1	0	1	1	0
12	1	1	0	0	0
13	1	1	0	1	0
14	1	1	1	0	0
15	1	1	1	1	0

Рисунок 1.7 − Умовне позначення логічного елементу ТА-АБО-НІ та його таблиця істинності

Операція ВИКЛЮЧНЕ АБО (XOR). Ця операція виконується як додавання за модулем 2, відповідно таблиці істинності, яка показана на рис. 1.8 разом з умовним позначенням цього елементу.

X1	x0	Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Рисунок 1.8 − Умовне позначення логічного елементу виключне АБО та його таблиця істинності

Формування логічних функцій відбувається за допомогою відповідних законів і операції алгебри логіки, до яких в якості основних можна віднести:

операція двійної інверсії;

тощо.

Ці та інші закони алгебри логіки використовуються для перетворення бульових функцій при розробці схем цифрових пристроїв.

Побудування схем цифрових пристроїв зазвичай виконується у певних базисах. Базис – це функціонально повна система логічних елементів тобто мінімальний набір (сукупність) логічних елементів за допомогою яких можливо побудувати логічну схему будь-якої складності. Базис, який складається з основних логічних функцій НІ, ТА, АБО має назву основний логічний базис. Крім цього, кожний з логічних елементів ТА-НІ й АБО-НІ також складають логічні базиси, які відповідно мають назви ТА-НІ й АБО-НІ. Логічний елемент ТА-АБО-НІ також складає відповідний логічний базис. Ці базиси мають назву універсальних.

Л огічне проектування схем цифрових пристроїв охоплює низку проблем, котрі виникають на початковому етапі розробки цифрового пристрою. Однією з головних проблем є визначення способу з’єднання логічних елементів таким чином, щоби пристрій, який буде отримано реалізував алгоритм переробки інформації, відповідно до завдання.

За звичаєм, логічне проектування виконується у такій послідовності:

1 відповідно до опису алгоритму роботи пристрою, який подано в будь-яки спосіб, складається таблиця істинності;

2 відповідно таблиці істинності складається логічний вираз, який описує алгоритм роботи пристрою;

3 виконується аналіз логічного виразу з метою побудування різних варіантів математичного виразу й знаходження кращого з них відповідно до певних критеріїв;

4 побудування функціональної (логічної) схеми пристрою з заздалегідь обраного набору елементів.