Лекция 7. Сплайновые поверхности

7.1 Кривые Безье

Для изображения гладких линий или поверхностей в компьютерной графике используются сплайновые кривые (Кривая Безье).

Кривая Безье, описываемая уравнением (7.1)

где - коэффициенты в разложении бинома Ньютона (число сочетаний из m по i);

V_i – вершины, называемые контрольными точками кривой Безье, а ломаная прямая соединяющая вершины- контрольной линией;

t – параметр определяющий длину линии от вершины V₀ до V_m;

m – число вершин

Из уравнения (7.1) видно , что кривая Безье обладает следующими свойствами:

• кривая Безье- гладкая;

• начинается в точке V₀ и кончается в точке V_m ;

• отрезки V₀ V₁ и V_m-1 V_m контрольной линии являются касательными к кривой;

• параметр t определяет точку на кривой;

• кривая Безье целиком лежит в выпуклой оболочке порождаемой массивом вершин .

Рис. 7.1 Кубическая парабола Безье (m=3).

.

И з элементарных бикубических поверхностей можно строить составные поверхности. Для обеспечения гладкости составных поверхностей, смежные наборы контрольных точек должны иметь общую контрольную линию.

Линия, составленная из фрагментов, будет гладкой, если контрольные точки V₃¹ и V₀² лежат на одной прямо. (Это требование является следствием свойства кривых Безье: крайние ребра являются касательными к кривой).

Порядок следования контрольных точек существенно влияет на вид кривой.

7.2 Отображение кривых Безье в OpenGl

В OpenGL отображение кривых Безье осуществляется следующим образом:

• в глобальных переменных задается массив контрольных точек

ctrlpoints : Array [0..3, 0..2] of GLfloat = (( -4.0, -4.0, 0.0), (-2.0, 4.0, 0.0),(2.0, -4.0, 0.0), (4.0, 4.0, 0.0));

• в обработчике создания формы FormCreate или там, где контрольные точки могут изменять своё значение, задаётся одномерный вычислитель

glMap1f(GL_MAP1_VERTEX_3, 0.0, 1.0, 3, 4, @ctrlpoints);

где

GL_MAP1_VERTEX_3 – символьная константа соответствующая случаю, когда каждая контрольная точка представляет собой набор трёх чисел;

Второй и третий параметр соответствуют диапазону изменения параметр ;

Четвёртый параметр 3- размерность вектора, определяющего контрольную точку;

Пятый параметр 4-число контрольных точек;

Шестой параметр @ctrlpoints – адрес массива контрольных точек;

• Для построения сплайновой кривой в процедуре FormPaint используется стандартная команда OpenGL вывода точек или линий, но место векторов задаётся команда glEvalCoord1f.

Например.

procedure TfrmGL.FormPaint(Sender: TObject);

var

i : GLint;

begin

glClear (GL_COLOR_BUFFER_BIT); // очистка буфера цвета

glColor3f(1.0, 1.0, 1.0);

glBegin(GL_LINE_STRIP);

For i := 0 to 30 do

glEvalCoord1f(i / 30.0);

glEnd;

SwapBuffers(DC);

end;

В этой процедуре команда glEvalCoord1f(i / 30.0); выводит сплайновую кривую, аппроксимировав её тридцатью отрезками (то есть последовательно выводит тридцать отрезков по всему диапазону t от 0 до 1 c шагом 1/30).