4.1.2 Ряды
1. Пусть
дана бесконечная последовательность
чисел а1,
а2,
…, аn.
Числовым
рядом
называется сумма вида
.
2. Если
существует конечный предел
частичной суммы
,
то соответствующий числовой ряд
называется сходящимся
и его сумма равна S.
В противном случае числовой ряд называется
расходящимся.
3. Основные свойства сходящихся числовых рядов:
а) Необходимый
признак сходимости:
если числовой ряд
сходится, то
.
б) Достаточное
условие расходимости:
если
,
то числовой ряд
расходится.
в) Если
все члены сходящегося числового ряда
умножить или разделить на число
,
то получится сходящийся ряд
.
г) Если
два сходящихся числовых ряда
и
почленно сложить (или вычесть), то
получатся сходящиеся ряды
(или
).
Положительные числовые ряды
4.
Положительным числовым рядом называется
ряд вида
,
все члены которого неотрицательны, то
есть
.
К достаточным признакам сходимости положительных рядов относятся:
а). Признак
Даламбера.
Пусть дан положительный ряд
и существует предел
.
Тогда:
1) если
,
то ряд сходится;
2) если
,
то ряд расходится;
3) если
,
то вопрос о сходимости ряда остается
открытым.
б). Радикальный
признак Коши.
Пусть дан положительный ряд
и существует предел
.
Тогда:
1) если , то ряд сходится;
2) если , то ряд расходится;
3) если , то вопрос о сходимости ряда остается открытым.
в). Интегральный
признак Коши.
Пусть дан положительный ряд
.
Если существует непрерывная, невозрастающая
и неотрицательная функция
на
такая, что
,
то ряд и несобственный интеграл
ведут себя одинаково.
г). Первый
признак сравнения рядов.
Пусть даны два положительных ряда
и
.
Если, начиная с некоторого номера n,
выполняется условие
,
то:
1) из сходимости ряда следует сходимость ряда ;
2) из расходимости ряда следует расходимость ряда .
д). Второй
признак сравнения рядов.
Пусть даны два положительных ряда
и
.
Если существует
,
то оба ряда ведут себя одинаково.
5. При использовании признаков сравнения чаще всего используют эталонные ряды:
1) Геометрический
ряд a
+ aq
+ aq2
+ … + aqn
– 1 + … =
сходится при
и расходится при
.
2) Ряд
Дирихле
сходится при
и расходится при
.
3) Частный
случай ряда Дирихле при p = 1
– гармонический
ряд
расходится.
Знакопеременные и знакочередующиеся ряды
6.
Ряд
с членами, имеющими разные знаки,
называется знакопеременным. Если в
знакопеременном ряде
,
где
(т.е. знаки чередуются), то ряд называется
знакочередующимся.
7. Признак
Лейбница.
Пусть дан знакочередующийся ряд
,
где an > 0.
Если 1) члены знакочередующегося ряда
убывают по абсолютной величине
и 2) предел его общего члена при
равен нулю, т. е.
,
то исходный ряд сходится, а его сумма
не превосходит первого члена
.
8. Пусть
дан знакопеременный ряд
.
Если соответствующий ряд
сходится, то данный ряд сходится
абсолютно.
9. Если знакопеременный ряд сходится по признаку Лейбница, а соответствующий ряд расходится, то данный ряд сходится условно.
10. Сумма
сходящегося по признаку Лейбница ряда
можно представить как
,
где
- сумма первых
членов ряда, а
- сумма остатка ряда (который представляет
собой знакочередующийся ряд, удовлетворяющий
условиям признака Лейбница, первый член
которого
,
и, следовательно, для него
).
Отсюда следует вывод: погрешность при
приближенном вычислении суммы сходящегося
знакочередующегося ряда, удовлетворяющего
условиям признака Лейбница, по
абсолютной величине не превышает
абсолютной величины первого отброшенного
члена.