2. Требования к оформлению контрольной работы

При выполнении контрольных работ следует придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, могут быть не зачтены и возвращены студенту для доработки.

1. Каждую контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента.

2. На обложке тетради должны быть ясно написаны номер контрольной работы, название дисциплины, фамилия, имя, отчество студента, номер зачетной книжки, номер варианта, специальность и группа, в которой обучается студент. В конце работы следует проставить дату ее выполнения и расписаться.

3. Для студентов заочной формы обучения номер варианта контрольной работы соответствует последней цифре номера зачетной книжки. Если номер зачетной книжки оканчивается цифрой «0», то студент выполняет 10-й вариант. Студенты-дневники получают номер варианта по усмотрению преподавателя.

4. В работу включаются все задачи строго по положенному варианту. Работа, содержащая не все задачи варианта или задачи не своего варианта, не зачитывается.

5. Решения задач надо располагать в порядке номеров, указанных в задании, сохраняя номера задач. Перед решением каждой задачи надо выписать полностью ее условие. Решения задач излагать подробно и аккуратно, объясняя все действия и делая необходимые чертежи.

6. Если работа не зачтена или сделаны замечания по решению задач, следует выполнить работу над ошибками в той же тетради. В связи с этим рекомендуется при выполнении контрольной работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для всех исправлений и дополнений в соответствии с указаниями рецензента. Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается.

3. Рекомендуемая литература для самостоятельной работы

1. Баврин, И. И. Общий курс высшей математики / И. И. Баврин, В. Л. Матросов. – М. : Просвещение, 1995. – 464 с.

2. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П. Е. Данко, А.. Г. Попов, Т. Я. Кожевников. В 2-х ч. Ч. 1. – 4-е изд., испр. и доп. – М. : Высшая школа, 1986. – 304 с.; Ч. II. – 4-е изд., испр. и доп. – М. : Высшая школа, 1986. – 415 с.

3. Кудрявцев, В.А. Краткий курс высшей математики / В. А. Кудрявцев, Б. П. Демидович. – 6-е изд. – М. : Наука, 1986. – 576 с.

4. Меркулов, В. А. Курс высшей математики. Избранные разделы : учеб. пособие / В. А. Меркулов. – Волгоград : ВолгГАСУ, 2004.

5. Минорский, В. П. Сборник задач по высшей математике / В. П. Минорский. – М. : Наука, 1977. – 352 с.

6. Выгодский, М. Я. Справочник по высшей математике / М. Я. Выгодский. – М.: АСТ: Астрель, 2006. – 991 с.

4. Контрольная работа «Дифференциальные уравнения. Ряды.»

4.1. Основные теоретические сведения

4.1.1 Дифференциальные уравнения

1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка, называется дифференциальным уравнением.

2. Натуральное число n, являющееся порядком старшей производной, называется порядком дифференциального уравнения.

3. Дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида или в дифференциалах . Если эти равенства можно разрешить относительно производной, то их записывают в виде или .

4. Решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется функция y = (x), имеющая непрерывную производную на некотором интервале (a; b) и обращающая уравнение в верное числовое равенство.

5. Задача Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка: требуется найти решение y = (x) уравнения, удовлетворяющее начальному условию y = y₀ при x = x₀.

6. Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется функция y = (x; С), содержащая произвольную постоянную С и удовлетворяющая условиям: 1) при любых начальных условиях (x₀; y₀) уравнение y₀ = (x₀; С) должно быть разрешимо относительно С так, что С = (x₀; y₀); 2) при всех значениях постоянной С = (x₀; y₀) функция y = (x; (x₀; y₀)) должна удовлетворять дифференциальному уравнению.

7. Всякое решение, получаемое из общего при фиксированном значении постоянной С называется частным решением дифференциального уравнения.

8. Уравнение вида или называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Приводятся к виду или путем разделения переменных x и y и затем почленно интегрируются.

9. Уравнение вида называется однородным дифференциальным уравнением. Используется замена: или , где – новая неизвестная функция, тогда . Сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными относительно новой функции, для которого находят общее решение. Записывают общее решение исходного уравнения по формуле .

10. Уравнение вида называется линейным дифференциальным уравнением. Используется метод Бернулли: , где , – новые неизвестные функции, тогда . Получаем: или . Подберем функцию v так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, тогда получаем Первое уравнение – ДУ с разделяющимися переменными, находим его частное решение при С = 0. Найденное частное решение подставляем во второе уравнение, являющееся тоже ДУ с разделяющимися переменными и находим его общее решение. Записываем общее решение исходного уравнения по формуле .

11. Уравнение вида , где называется дифференциальным уравнением Бернулли. Используется метод Бернулли: .

12. Дифференциальным уравнением 2-го порядка называется уравнение вида . Если уравнение можно разрешить относительно , то его записывают в виде .

13. Решением дифференциального уравнения 2-го порядка называется функция y = (x), имеющая непрерывные производные , на некотором интервале (a; b) и обращающая уравнение в верное числовое равенство.

14. Задача Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка: требуется найти решение y = (x) уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = y₀, при x = x₀.

15. Общим решением дифференциального уравнения 2-го порядка называется функция y = (x; С₁; С₂), содержащая две произвольные постоянные С₁, С₂ и удовлетворяющая условиям: 1) при любых начальных условиях система уравнений должна быть разрешима относительно постоянных С₁, С₂ так, что 2) при всех значениях этих постоянных С₁, С₂ функция y = (x; C₁; C₂) обращает дифференциальное уравнение в верное числовое равенство.

16. Всякое решение, получаемое из общего при фиксированных значениях постоянных С₁, С₂ называется частным решением дифференциального уравнения.

17. Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка:

а)  решается повторным интегрированием.

б)  , явно не содержащее искомой функции . Используется замена: , где – новая неизвестная функция, тогда . Для нового уравнения относительно функции p находим общее решение и подставляем его в формулу . Получаем ДУ с разделяющимися переменными относительно функции y, находим его общее решение.

в)  , явно не содержащее независимой переменной . Замена: , где , тогда . Для нового уравнения относительно функции p находим общее решение и подставляем его в формулу . Получаем ДУ с разделяющимися переменными относительно функции y, находим его общее решение.

18. Линейным однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида . Составляется характеристическое уравнение .

Если , то и общее решение исходного уравнения имеет вид: .

Если , то и .

Если , то и .

19. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида называется уравнение вида . Его общее решение ищется в виде , где – общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами: , а – какое-либо частное решение исходного уравнения.

Если , где  – некоторое число, P_n(x) – многочлен степени n, то , где – многочлен степени с неопределенными коэффициентами, – число, равное кратности  как корня характеристического уравнения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами .

Если , где ,  – некоторые числа, P_n(x), Q_m(x) – многочлены степени n и m соответственно, то , где – многочлены степени с неопределенными коэффициентами, , – число, равное кратности как корня характеристического уравнения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами .

20. Система дифференциальных уравнений вида

где , ,…, – неизвестные функции независимой переменной , называется нормальной системой.

Если правые части нормальной системы дифференциальных уравнений являются линейными функциями относительно , ,…, , то система дифференциальных уравнений называется линейной.

21. а) Если дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

то эту систему можно записать в виде одного матричного дифференциального уравнения , где

; ; .

Решение системы ищем в виде , ,…, . Подставив значения , ,…, в систему дифференциальных уравнений, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно , ,…, :

Система должна иметь ненулевое решение, поэтому для определения получаем уравнение – й степени:

Пусть это характеристическое уравнение имеет различных корней , ,…, . Тогда система дифференциальных уравнений имеет решений:

1-е решение, соответствующее корню :

; ;…;

2-е решение, соответствующее корню :

; ;…; ;

…………………………………………………………………….

– е решение, соответствующее корню :

; ;…; .

Получена фундаментальная система решений. Общее решение системы имеет вид

Такой способ решения называется решением линейных однородных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами при помощи матриц (видоизмененный метод Эйлера).

б) Иногда нормальную систему дифференциальных уравнений удается свести к одному уравнению – го порядка, содержащему одну неизвестную функцию. Сведение нормальной системы к одному уравнению может быть достигнуто дифференцированием одного из уравнений системы и исключением всех неизвестных, кроме одного (так называемый метод исключения).