3.4.2 Оператор Лапласа

Розглянемо скалярний добуток двох операторів “набла”:

• Означення 6. Оператор називається оператором Лапласа і найчастіше позначається символом

Оператор Лапласа

(22)

значно спрощує запис диференціальних виразів і тому використовуються досить часто, причому не тільки в декартових координатах, а і в циліндричних або сферичних координатах.

Циліндричні координати виражаються через декартові координати за формулами:

Щоб одержати вираз

у циліндричних координатах треба вважати, що і виразити за правилами диференціювання складної функції.

Після досить громіздких викладок можна одержати оператор Лапласа у циліндричних координатах, оскільки

(23)

3.4.3 Диференціальні операції другого порядку теорії поля

Застосування диференціальних операцій першого порядку до диференціальних операцій першого порядку теорії поля називають операціями другого порядку.

В теорії поля існує три операції першого порядку:

- векторна величина;

- скалярна величина;

- векторна величина.

Оскільки до скалярного поля можна застосувати лише операцію знаходження градієнта, то можна застосувати лише операцію першого порядку й одержати

(24)

До кожної векторної величини та можна застосувати дві операції першого порядку: дивергенцію та вихор. Одержимо:

(25)

(26)

оскільки векторний добуток двох рівних векторів дорівнює 0.

(27)

оскільки в мішаному добутку є два рівних вектори.

(28)

Оскільки , а за формулою (24) , то (28) приймає вигляд:

(29)

Література

1. В.Г. Кривуца, В.В. Барковський, Н.В. Барковська. Вища математика. Практикум,-К., ЦУЛ, 3003,-536с.

2. Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика (Ряди, гармонічний аналіз, перетворення Лапласа, теорія поля і функції комплексної змінної) – Київ; Знання-Пресс, 2002, 200с.