1.3. Модифікований градієнтний метод

Модифікований градієнтний метод реалізується у такій послідовності:

1. задаємо початкові значення параметрів оптимізації х⁽⁰⁾х₁⁽⁰⁾, х₂⁽⁰⁾,…,х_n⁽⁰⁾та у⁽⁰⁾у₁⁽⁰⁾, у₂⁽⁰⁾,…,у_m⁽⁰⁾;

2. визначаємо складові вектора градієнта функції R(x, y);

3. обчислюємо значення R(x, y) у точці (х⁽⁰⁾, у⁽⁰⁾);

4. знаходимо координати точки (x⁽¹⁾, y⁽¹⁾) за формулами (1.6), k=1;

5. складаємо вираз для приросту критерію оптимізації R(x, y)

^(k)R(x,y,)=R(x^(k),y^(k),)-R(x^(k-1),y^(k-1),), (1.14)

де k – порядковий номер ітерації, який на першій ітерації приймає значення рівне 1;

6. з рівняння

. (1.15)

Обчислюємо значення параметра  на першій ітерації;

7. підстановкою знайденого з (1.10) параметра  у (1.6) знаходимо координати точки (х⁽¹⁾, у⁽¹⁾) та значення функції R(x, y) у цій точці;

8. переходимо до обчислень R(x, y) та координат х⁽²⁾ і у⁽²⁾ на другій ітерації, реалізувавши пункти 4-7 для k =2 і т.д.

Кількість ітерацій залежить від постановки задачі і визначається однією із умов: (1.7), (1.8).

Реалізацію викладеного вище алгоритму модифікованого методу розглянемо на прикладі, наведеному у розділі 1.2.

За початкову точку (х⁽⁰⁾, у⁽⁰⁾) приймемо точку з координатами х⁽⁰⁾=0; у⁽⁰⁾=0. Координати наступної точки (х⁽¹⁾, у⁽¹⁾) розраховуємо за формулами (1.6):

(1.16)

Складаємо вираз для приросту критерія оптимізації ∆⁽¹⁾R(x,y,λ) на першій ітерації (1.14)

∆⁽¹⁾R(x,y,λ)=R(x⁽¹⁾,y⁽¹⁾)-R(x⁽⁰⁾,y⁽⁰⁾)=110-2(16λ-4)²-3(30λ-5)²-3=

=107-32(4λ-1)²-75(6λ-1)². (1.17)

За формулою (1.10) знаходимо значення параметра λ для якого приріст ∆⁽¹⁾R(x,y,λ) є максимальним. Для цього підставимо (1.12) у (1.10), тоді матимемо

. (1.18)

Звідси, оскільки рівняння (1.13) задовільняє λ ≈ 0,18, то підставивши отриманий розв’язок у (1.11), знайдемо шукані координати: х⁽¹⁾=2,88; у⁽¹⁾=5,40. Значення функції R(x, y) у цій точці дорівнює 107,0112, яке є значно більшим за R(x⁽⁰⁾, y⁽⁰⁾)=3. Тому, враховуючи умову (1.7) переходимо до обчислень на другій ітерації. Зокрема, розраховуємо координати точки (х⁽²⁾, у⁽²⁾):

(1.19)

Знаходимо приріст ∆⁽²⁾R(x,y,λ)

∆⁽²⁾R(x,y,λ)=R(x⁽²⁾,y⁽²⁾)-R(x⁽¹⁾,y⁽¹⁾)=110-2(2,88+4,48λ)²-3(5,4-2,4λ-5)²-107,0112.

Розв’язавши рівняння (1.10) для k=2, отримаємо λ≈0,225.

Для перевірки умови (1.7) знаходимо

R(x⁽²⁾,y⁽²⁾) ≈109,916.

Отримане значення свідчить, що R(x⁽²⁾, y⁽²⁾)> R(x⁽¹⁾, y⁽¹⁾) тобто(1.17) не виконується, тому переходимо до аналогічних обчислень на третій ітерації.

1.4. Реалізація алгоритмів градієнтних методів в Excel

Порядок вирішення оптимізаційних звадач деревооброблення розглянемо на прикладі визначення максимуму критерія оптимізації R(x, y) заданою залежністю (1.10).

1.4.1. Градієнтний метод

1. Формуємо таблицю розв’язків і запишемо значення координат точки (х⁽⁰⁾, у⁽⁰⁾) у клітинах В13 та С13 відповідно (табл. 1.1).

2. У клітину D13 записуємо формулу (1.10)

=110-$B$6*($B13-$D$6)^2-$F$6*($C13-$H$6)^2. (1.20)

3. Для обчислення складових вектора grad R(x, y) у клітини E13 i F13 заносимо формули (1.9)

=(110-$B$6*($B13+$E$8-$D$6)^2-$F$6*($C13-$H$6)^2-$D13)/$E$8

(1.21)

=(110-$B$6*($B13+$E$8-$D$6)^2-$F$6*($C13-$E$9-$H$6)^2-$D13)/$E$9.

4. Розраховуємо координати точки (х⁽¹⁾, у⁽¹⁾). Для цього у клітини В14 та С14 заносимо формули (1.6)

=$B13+$B$8*$E13

(1.22)

=$C13+$B$B*$F13

5. Формули у клітинах D13:F13 копіюємо у клітини D14:F14 відповідно.

6. У клітині G14 записуємо формулу для визначення умови (1.7)

=ЕСЛИ(D14-D13<0;"Розв’язок знайдено";D14). (1.23)

7. Копіюємо формули діапазону A14:G14 у діапазони клітин А15:G15; A16:G16 доти доки у стовпчику G висвітлиться повідомлення "Розв’язок знайдено".

Таблиця 1.1