Визначення розв’язків оптимізаційних задач деревооброблення градієнтними методами

1.1. Постановка задачі

Актуальними задачами деревооброблення є визначення оптимальних умов функціонування досліджуваної системи. Наприклад, у випадку розробки раціональних режимів гідротермічної обробки деревини важливим є встановлення таких значень характеристик умов протікання процесу, зокрема, для відносної вологості, температури та швидкості руху навколишнього середовища, за яких тривалість вологовидалення буде мінімальною, а показники якості матеріалу не перевищуватимуть допустимих значень.

У математичній постановці подібні задачі записуються у вигляді

R(x,y) → max (min), (1.1)

де С₁ ≤ x ≤ С₂ ,

А₁ ≤ y ≤ A₂. (1.2)

Функцію R(x,y) прийнято називати критерієм оптимізації. Вона є залежною від вхідних x{x₁, x₂, ..., x_n} та вихідних y{y₁, y₂, ..., y_m} факторів системи (рис. 1.1).

х₁

y₁

Досліджувана система

y₂

х₂

вхідні фактори

вихідні фактори

y₂

х_n

y_m

Рис.1.1. Постановка задачі

Обмеження (1.2) описують умови функціонування системи. Для згадого вище прикладу, критерієм оптимізації є тривалість гідротермічної обробки деревини, cистемою обмежень – допустимі значення для вологи W, температури t та швидкості руху v агента сушіння, а також нерівності для показників якості матеріалу. До показників якості, у даному випадку, відносяться, наприклад, напруження – сили, результатом дії яких є тріщиноутворення та короблення матеріалу, середня вологість до якої необхідно висушити пиломатеріал, тощо.

Ефективними засобами вирішення подібних задач є градієнтний та модифікований градієнтний методи. Згадані методи відносяться до ітераційних. В їх основі покладено знаходження послідовних наближень параметрів оптимізації критерію R(x,y).

x⁽⁰⁾; y⁽⁰⁾; x⁽¹⁾; y⁽¹⁾;...; x^(k),y^(k); ... (1.3)

збіжних до значень x^(*), y^(*) для яких R(x^(*), y^(*)) = extr R(x,y).

1.2. Градієнтний метод

Градієнтний метод передбачає:

1) вибір початкових значень параметрів оптимізації

Х⁽⁰⁾{x₁⁽⁰⁾, x₂⁽⁰⁾, ..., x_n⁽⁰⁾} та Y⁽⁰⁾{y₁⁽⁰⁾, y₂⁽⁰⁾, ..., y_m⁽⁰⁾}; (1.4)

2) визначення складових вектора градієнта функції R(x,y):

. (1.5)

3) обчислення значень R(x,y) та складових вектора grad R(x,y) у точці (x⁽⁰⁾, y⁽⁰⁾);

4) задання параметра λ для знаходження кроку сходження до екстремуму функції R(x,y);

5) обчислення координат точки (x⁽¹⁾, y⁽¹⁾) на першій ітерації за формулами

(1.6)

де k – порядковий номер ітерації, який у даному випадку дорівнює 1.

6) знаходження значень R(x,y)та складових вектора grad R(x,y) у точці (x⁽¹⁾, y⁽¹⁾);

7) обчислення координат точки (x⁽²⁾, y⁽²⁾) на другій ітерації за формулами (1.6), поклавши k=2 і т.д. доти доки не буде виконуватися одна із умов:

• для максимуму R(x,y)

R(x^(k), y^(k))< R(x^(k-1), y^(k-1)), (1.7)

• для мінімуму R(x,y)

R(x^(k), y^(k))< R(x^(k-1), y^(k-1)), (1.8)

Вибір початкових значень параметрів оптимізації (1.3) кнритерія R(x,y) є довільним.

У випадках, коли знаходження частинних похідних (1.4) є проблематичним для обчислення їх значень на кожній k-тій ітерації використовуються наближенні співвідношення

(1.9)

У градієнтному методі абсолютне значення параметра λ задається довільно і є сталим для всіх К ітерацій. Однак, для менших значень |λ| точність розв’язку задачі є вищою, а число К – великим. Знак величини λ визначається характером шуканого екстремального значення функції R(x,y). Для обчислень max R(x,y)) за λ вибирають додатнє число, а для знаходження min R(x,y)– від’ємне число.

Реалізація алгоритму градієнтного методу розглянемо на прикладі визначення максимуму критерія оптимізації R(x,y) заданого залежністю

R(x,y)=110-2(x-4)²-3(y-5)². (1.10)

Виходячи з пунктів 1-2, викладеної вище методики, знаходимо:

- градієнти функції (1.9)

(1.11)

та задаємося координатами початкової точки (х⁽⁰⁾, у⁽⁰⁾) сходження до екс­тремуму R(x,y), наприклад, координатами х⁽⁰⁾=0; у⁽⁰⁾=0.

- значення величин R(x,y) та grad R(x,y) у точці (х⁽⁰⁾, у⁽⁰⁾)

R(x⁽⁰⁾, y⁽⁰⁾) = 110-2(0-4)²-3(0-5)²=3,

(1.12)

.

• координати точки (х⁽¹⁾, y⁽¹⁾), задавшись значенням параметра λ рів­ним, наприклад, 0,1

x⁽¹⁾=0+0,1·16 = 1,6

(1.13)

y⁽¹⁾=0+0,1·30 = 3.

• значення величини R(x, y) у точці (x⁽¹⁾, y⁽¹⁾)

R(x⁽¹⁾, y⁽¹⁾) = 110 –2(1,6-4)² – 393-5)² = 86,48 > R(x⁽⁰⁾, y⁽⁰⁾).

На другій ітерації отримаємо

;

;

R(x⁽²⁾;y⁽²⁾) = 103,9328>R(x⁽¹⁾;y⁽¹⁾).

Визначаємо координати точки (х⁽³⁾, у⁽³⁾) і т.д.

Обчислення проводяться до виконання умови (1.7).