14 Самостійна робота 13

Тема: Підбір профілю балок при згині

Питання, що розглядаються

1. Розрахунок вала з умов міцності і жорсткості при згині.

2. Момент опору перерізу при згині.

3. Нейтральна лінія брусу при згині.

4. Розв’язування задачі

У випадку плоского поперечного згину в кожному поперечному перерізі балки із шести можливих внутрішніх силових факторів виникають тільки два - згинальний момент М і поперечне зусилля Q.

Якщ балка зазнає чистого згину, то по всій довжині балках в кожному перерізі діє згинальний момент постійної величини, а поперечна сила в тих же перерізах дорівнює нулю. При чистому згині в поперечних перерізах балки виникають тільки нормальні напруження σ. Умова міцності при згині

де осьовий момент опору перерізу,

, де де осьовий момент інерції перерізу, взятий відносно осі Оz, яка в перерізі збігається з нейтральним шаром.

Деякі конструкції також при згині необхідно перевірити на жорсткість, тому що

при плоскому поперечному згині вісь балки викривляється. Початково пряма вісь перетворюється в плоску криву лінію, яку називають зігнутою віссю або пружною лінією балки. Переміщення балки у довільному перерізі при плоскому згині характеризується прогином у і кутом повороту перерізу Θ. Жорсткість балок при згині оцінюють за максимальними прогинами f=y_мах і максимальними кутами повороту поперечних перерізів Θ_мах. Умови жорсткості записують так:

f≤[f], Θ≤[Θ],

Допустимі прогини [f] і кути повороту поперечних перерізів [Θ], встановлюють для різних технічних об'єктів з урахуванням конкретних умов їхньої нормальної експлуатації. Якщо умова жорсткості не виконується, то потрібно збільшити осьовий момент інерції перерізу балки.

Завдання. Підібрати переріз сталевої балки з умов міцності і жорсткості. Розрахунок на жорсткість виконати за допомогою таблиці. Прийняти Е=2·10⁵ МПа, [σ]=160МПа.

Рекомендована послідовність рішення виконання роботи:

1) накреслити балку разом з навантаженнями;

2) вибрати розташування координатних осей, по’вязати вісь х з балкою, а вісь в спрямувати перпендикулярно осі х;

3) виконати необхідні перетворення заданих активних сил: силу, нахилену до осі балки під кутом α, замінити двома взаємно перпендикулярними складовими, а рівномірно розподілену за законом прямокутника навантаження — її рівнодіючій, прикладеної до середини ділянки розподілу вантаження;

4. Звільнити балку від опор , виконав заміну їх дії реакціями опор, спрямованими вздовж осей координат;

6) скласти рівняння рівноваги статики для довільної плоскої системи сил таким чином і в такій послідовності, щоб рішенням кожного з цих рівнянь було визначення однієї з невідомих реакцій опор;

7) перевірити правильність знайдених опорних реакцій по рівнянню, яке не було використано для вирішення завдання. ( ).

8) Балку поділити на ділянки, границі яких співпадають з точками прикладання сил, пар сил або з точками початку або кінця розподіленого навантаження.

9) Використовуючи метод перерізів та розглядаючи рівновагу відрізаної частини балки, скласти рівняння для визначення поперечної сили та згинального моменту на ділянках балки. Поперечна сила в довільному поперечному перерізі бруса дорівнює алгебраічної сумі зовнішніх сил, які діють на умовно відрізану частину перпендикулярно поздовжній осі бруса. При побудові епюр поперечних сил слід використовувати правило знаків.

10) Побудувати епюру згинальних моментів та визначити максимальне його значення М_мах.

11) Розрахувати необхідний момент опору перерізу з умови міцності:

12) Для стандартних профілів-кутника, тавра, двотавра, швелера-підібрати за таблицями необхідні типорозміри. Для інших видів перерізів розрахувати розміри за формулами:

а) круглий переріз діаметром d:

:

б) кільцевий переріз, зовнішній діаметр d та внутрішній d₁, ;

в) прямокутник шириною b та висотою h, ;

13) Підбір перерізів з умов жорсткості виконати за допомогою таблиці 1.

14) З умови жорсткості f≤[f] визначити необхідний осьовий момент інерції перерізу Jх.

15) Для стандартних профілів-кутника, тавра, двотавра, швелера-підібрати за таблицями необхідні типорозміри. Для інших видів перерізів розрахувати розміри за формулами:

а) круглий переріз діаметром d:

:

б) кільцевий переріз, зовнішній діаметр d та внутрішній d₁,

в) прямокутник шириною b та висотою h,

Приклад: Підібрати переріз двотаврової балки з умов міцності і жорсткісті (рисунок 1).

Прийняти Е=2·10⁵ МПа, [σ]=210МПа, допустимий прогин [f]=l/400.

Будуємо епюру Мх та визначаємо максимальний згинальний момент

Рисунок 1-балка та епюра згинальних моментів.

Ммах=

З умови міцності визначаємо

За таблицею сортаменту обираємо двотавр №20а, для якого Wх=203см³_.

Підбір перерізу з умови жорсткості виконуємо за допомогою таблиці прогинів (таблиця 1). За таблицею 1 для даного навантаження найбільший прогин визначається за формулою:

fмах= ,

Умова жорсткості

f≤[f], або ≤ , звідси знаходимо

За таблицею сортаменту обираємо двотавр №24, для якого Jх=3460см⁴.

Таким чином, умова жорсткості балки є вирішальною, тому остаточно назначаємо переріз двотавр №24._.

Питання для самоперевірки.

1. Як визначити осьові моменти інерції прямокутника, круга, кільця, двотавра?

2. Що називається жорсткістю перерізу при згині? Напишіть умову жорсткості.

3. Що таке нейтральна лінія балки при згині?

Література: В.Т.Павлище, Є.В.Харченко, А.Ф. Барвінський, Ю.Г. Гаршнєв.

Прикладна механіка. Стор.88-92

Таблиця 1 схеми балок , максимальні переміщення та кути повороту поперечних перерізів.

Схема навантаження балки	fмах	ΘА	Θв
		0
		0
		0
	а>в а<в
	а>в

Таблиця 1- Варіанти завдань

Варіант	№ схеми	F, кН	q , кН/м	М, кН·м	а, м	в, м	с	[f]/l
1	1	-	8	-	1	4	-	1/300
2	2	-	7	-	2	3	-	1/400
3	3	10	-	-	1	2	-	1/500
4	4	-	7	3	L=4м		-	1/400
5	5	-	10	-	5	2	-	1/300
6	6	-	2	2	L=4м		-	1/400
7	7	10	-	5	4	-	-	1/400
8	8	5	10	-	2	2	-	1/600
9	9	15	-	12	2	-	-	1/500
10	10	12	-	8	1	4	-	1/600
11	1	-	10	-	2	3	-	1/400
12	2	-	1	-	3	2	-	1/600
13	3	6	-	-	2	3	-	1/300
14	4	-	1	4	L=3м		-	1/600
15	5	-	7	-	5	3	-	1/300
16	6	-	7	1	L=4м		-	1/600
17	7	6	-	4	2	-	-	1/300
18	8	4	6	-	3	3	-	1/500
19	9	8	-	9	3	-	-	1/600
20	10	9	-	10	4	2	-	1/600
21	1	-	10	-	2	3	-	1/400
22	2	-	4	-	2	2	-	1/200
23	3	15	-	-	3	3	-	1/400
24	4	-	6	3	L=4м		-	1/300
25	5	-	4	-	3	3	-	1/200
26	6	-	4	5	L=6,0м		1	1/300
27	7	8	-	6	4	-	-	1/200
28	8	6	8	-	5	4	-	1/400
29	9	12	-	11	4,0	-	-	1/400
30	10	11	-	7	3	5	-	1/500