§7 Понятие частных производных. Свойства частных производных.

Составим приращения:

Имеем три частных приращения.

Опр Частной производной функции U по переменной x называется

Замечание 1

Все табличные производные для функции одной переменной справедливы и для функции многих переменных.

Замечание 2

При вычислении частной производной, например по x, все остальные переменные считаются постоянными.

Замечание 3

Все правила нахождения частных производных такие же, как и для функций одной переменной.

Смешанные производные не обязаны быть равными.

§8 Понятие экстремума функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условие экстремума.

Опр Под

-окрестность

Пусть

Опр Точка называется точкой минимума/маxксимума, если

Точки минимума/максимума называются точками экстремума.

Теорема (необходимое условие экстремума)

Пусть выполнены условия:

1. 

2. - точка экстремума f;

Тогда все частные производные в этой точке равны нулю.

Доказательство

Рассмотрим функцию одной переменной .

Из определения экстремума =>

;

; и т.д.

Получим, что все частные производные равны нулю.

Теорема доказана

§8 Понятие дифференциала для функции нескольких переменных.

Рассмотрим функцию f(x) и две точки

Опр Полным приращением f(x) в точке называется выражение , где

Опр Пусть полное приращение представлено в виде , где главной линейной частью полного приращения или дифференциалом функции.

Здесь

Теорема

Предположим, что f(x) имеет непрерывные частные производные в , тогда

Доказательство

Предположим, что функция f имеет дифференциал, тогда . Возьмем приращение

Поделим на и перейдем к пределу

Аналогично все остальные , получим расчетную формулу для дифференциала

Теорема доказана

Верна и обратная теорема: Если функция имеет непрерывные частные производные, то дифференциал существует.

Свойства

1. 

2. 

3. 

4. 

Дифференциал высшего порядка

§9 Понятие квадратичной формы. Критерии Сильвестра. Достаточное условие экстремума.

Опр называется квардратичной формой, если

Квадратичная форма (1) называется положительно определенной, если она больше нуля для всех

С квадратичной формой связана симметрическая матрица A

Теорема Сильвестра 1

Квадратичная форма будет положительной тогда и только тогда, когда все окаймляющие миноры положительные, т.е. ,

Без доказательства

Теорема Сильвестра 2

Для того, чтобы квадратичная форма была отрицательной, необходимо и достаточно, чтобы знаки окаймляющий миноров чередовались, причем

Без доказательства

Пусть:

1. Функция f имеет дифференциал второго порядка в точке

2. Точка является стационарной, т.е все частные производные обращаются в ноль.

Тогда:

является экстремальной точкой, если дифференциал второго порядка, как и квадратичная форма, является положительным.