Глава 3: Функция нескольких переменных. §1 Понятие m-мерного пространства . Расстояние между двумя элементами. Скалярное произведение элементов.
Опр. Упорядоченный набор из m вещественных чисел называется m-мерным вектором или m-мерной точкой.
Числа
– координаты вектора X
Пусть имеется:
и
Свойства:
Определим
операцию умножения вектора на число
Определим
операцию суммы двух векторов
Опр. Если во множестве m-мерных векторов введено понятие умножение вектора на число и суммы двух векторов, то такое множество называется арифметическим пространством.
Расстояние между двумя точками
Пусть даны
два вектора:
и
Опр.
Расстоянием между
и
называется неотрицательное число
:
↔
Опр.
- Евклидова метрика
Если в арифметическом пространстве введено понятие расстояния, то такое пространство называется Евклидовым.
Определим
операцию скалярного произведения двух
векторов
Свойства:
Опр.
– норма элемента
Опр.
Пространство
,
в котором введено скалярное произведение,
называется пространством Гильберта
§2 Понятие последовательности в пространстве . Предел последовательности. Теоремы.
Рассмотрим
пространство
Опр.
Говорят, что в пространстве
задана последовательность
,
если указан закон, по котрому
ставится в соответствии единственный
вектор
.
Опр.
Вектор
называется пределом последовательности
,
если
Теорема 1
Для того чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы каждая координата сходилась.
Доказательство
Необходимость: Пусть дана последовательность , сходящаяся к A.
Это значит,
что
,
т.е.
т.е. координаты имеют конечный предел.
Достаточность:
;
т.е.
(#)
,
тогда неравенство (#) будет выполнено
для
Получим, что
- бесконечно малая величина
Доказано.
Теорема 2
Из предыдущей
теоремы следует, что если
сходится, то предел ее единственен.
Доказательство
сходится →
сходится →
Доказано.
Опр.
Последовательность
называется ограниченной, если
,
где M не зависит от n.
Теорема 3
Если
последовательность
сходится к A →
,
значит
ограничена и сходится к
.
Раз каждая координата ограничена, значит
и вся последовательность ограничена.
Замечание: Если ограничена, это не значит, что она сходится.
Рассмотрим
Свойства:
=>
не имеет места в
Рассмотрим
и возьмем последовательность чисел
,
получим подпоследовательность
Теорема Больцано-Вейерштрасса
Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство
→
Тогда из
можно выделить сходящуюся
подпоследовательность
→
→
Опр Последовательность называется фундаментальной, если
Теорема 5
Для того, чтобы сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной
Доказательство
Необходимость:
Пусть сходится →
,т.е
последовательность фундаментальна
Достаточность:
Пусть
– фундаментальна →
Каждая
координата фундаментальна → по критерию
Коши
Доказано.