19. Законы динамики твёрдого тела – закон сохранения момента импульса

Основной закон динамики вращательного движения твердого тела принимает вид

Если результирующий момент всех внешних сил, действующих на систему, равен нулю M_вшz = 0, то очевидно

Следует отметить, что как и прежде, полученные результаты справедливы только для однородного и стационарного внешнего поля

Если результирующий момент всех внешних сил, действующих на механическую систему, совершающую вращательное движение, равен нулю, то систему называют замкнутой по отношению к моментам сил

Никакими действиями внутри замкнутой по отношению к моментам сил системы, находящейся в однородном стационарном поле, невозможно изменить угловую скорость центра масс системы

20. Момент инерции твердого тела

Рассмотрим элементарный, массой dm,кусочек твердого тела, совершающего вращательное движение

Элементарный момент инерции для этого кусочка Тогда, суммирование этих ементарных моментов по всему объему твердого тела (т.е. интегрирование), дает , где ρ₀(r)=dm/dV – плотность тела в точке с радиус-вектором r

21. Теорема Штейнера

З адача: найти момент инерции J_z произвольного тела массой M относительно некоторой оси Z, если известен момент инерции J₀ этого тела относительно оси Z', проходящей через центр масс тела, параллельно исходной (на расстоянии a)

Для решения, выберем произвольную точку тела с массой m_i на расстоянии ρ_i от заданной оси

Тогда , где ρ'_i – расстояние от центра масс тела. Выражение в скобках в последней формуле является определением радиус-вектора центр масс (ц.м.), т.е. дает положение ц. м. относительно ц.м. и, очевидно, равно нулю . Таким образом (теорема Штейнера), где момент инерции тела относительно оси Z', проходящей через центр масс

Момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, параллельно данной и момента инерции материальной точки с массой всего тела относительно выбранной оси

2 2) Работа и энергия

Будем говорить, что задано физическое поле, если каждой точке пространства поставлено в соответствие определенное значение физической величины. Рассмотрим движение материальной точки в силовом поле, т.е. движением под действием сил, величина и направление которых известны для каждой точки траектории L:

Пусть за элементарное время dt точка, под действием силы F, совершает элементарное перемещение dr, то Процесс перемещения тела под действием силы называют работой силы.

Тогда работа силы на элементарном перемещении. Очевидно на произвольном перемещении, например от точки 1 до точки 2, работа равна сумме элементарных работ.

2 3. Теорема о кинетической энергии

Пусть под действием силы F точка произвела элементарное перемещение dr, т.е. была совершена элементарная работа .

.

Величину называют кинетической энергией тела. Таким образом, получаем теорему о кинетической энергии:

А) для элементарных перемещений : Элементарная работа, совершенная над телом, равна дифференциалу кинетической энергии тела

Б) На произвольном перемещении : Работа по перемещению тела между любыми двумя точками пространства равна разности кинетических энергий тела в конечной и начальной точках