3. С корость при произвольном движении

Р ассмотрим движение материальной точки относительно некоторой СОK. Пусть за элементарное время dt материальная точка переместилась из точки пространства M₁ в точку M₂ Мы выбрали направление оси OZ таким образом, чтобы точки M₁ и M₂ лежали в плоскости, параллельной координатной плоскости XY

П редставим радиус-вектор материальной точки в виде , где e(t) - единичный вектор, направленный вдоль радиус-вектора

Таким образом вектор скорости может быть представлен в виде суммы двух компонент вдоль радиус-вектора и перпендикулярно радиус-вектору.

Для того, чтобы найти производную de/dt, проведем единичные вектора вдоль радиус-векторов (первоначального - в момент t и конечного - через промежуток времени dt)

Н айдем проекции единичных векторов на плоскость XY

О чевидно .

Т огда длина элементарного отрезка

П роизводную угла поворота по времени называют угловой скоростью

С ледовательно,

По определению векторного произведения

Т аким образом, принимая, что вектор угловой скорости

направлен вдоль оси вращения получаем

К омпоненту скорости v_n, перпендикулярную радиус-вектору материальной точки, можем записать теперь в виде

Эта скорость является характеристикой вращательного движения материальной точки и называется, соответственно, скоростью вращательного движения

Т аким образом

4. Ускорение при произвольном движении

К ак обычно, рассмотрим движение материальной точки относительно некоторой СОK. Представим вектор скорости материальной точки в виде

Т огда

П оследнее слагаемое можно представить в виде

Следовательно

г де e_n - единичный вектор, перпендикулярный вектору скорости, а буквой R обозначено

П ервое слагаемое в формуле обозначают символом

a _τ и называют тангенциальным ускорением

Соответственно второе слагаемое обозначают a_n и называют нормальным ускорением.

Т аким образом при любом движении материальной точки

Д ля того, чтобы выяснить смысл величины R, рассмотрим движение материальной точки по окружности с постоянной по величине скоростью (т.е. ω=const и |r|=const).

В этом случае

П оследнее выражение можно преобразовать по формуле (правило BAC-CAB)

П олучим

П ри движении по окружности Следовательно

Тогда, вспоминая, что |v_n|=|ω||r|, приходим к известному выражению

И так видим, что при движении материальной точки по окружности величина R совпадает с радиусом окружности |r|

Очевидно при произвольном движении материальной точки величина R тоже будет равна радиусу некоторой моментальной (т.е. соответствующей данному моменту времени) окружности

Д ругими словами , полученный результат означает, что

Саму величину R называют радиусом кривизны траектории в данной точке.

5. Типы ускорений.

Выясним, какие типы ускорений могут характеризовать движение материальной точки

С огласно определению a(t) = dv/dt

Т огда, если вспомнить, что при любом движении ,

то несложно найти

Напомним, что производную угловой скорости частицы по времени называют угловым ускорением

Учитывая, что de/dt=[ω,e], имеем

Если теперь раскрыть скобки в последнем векторном произведении, то получим

В еличину a_r(t) называют ускорением прямолинейного (вдоль радиус-вектора) движения

Составляющую ускорения a_ξ называют переносным ускорением (оно характеризует изменение скорости при движении материальной точки по дуге моментальной окружности)

С оставляющую ускорения a_k называют кориолисовым ускорением (Кориолис) (это ускорение характеризует изменение скорости при движении материальной точки вдоль радиуса вращающейся моментальной окружности)

Чтобы более наглядно представить свойства введенных составляющих полного ускорения, рассмотрим примеры движений частицы, при которых эти составляющие возникают

Частица движется прямолинейно

Кинематические условия движения	Кинематические характеристики движения
ω = 0 (ε = dω/dt = 0)	a = ar = e d2|r|/dt2 v = vr = e d|r|/dt

Частица движется по дуге окружности

Кинематические условия движения	Кинематические характеристики движения
|r| = const ω┴r	a = aε = [ε,r]+[ω,[ω,r]]= =[ε,r]-rω2 = aτ+an v = vn = [v,r]

Частица движется по радиусу вращающегося круга (диска)

Кинематические условия движения	Кинематические характеристики движения
ω = const vr = const ω┴r	a = 2[ω,vr]+[ω,[ω,r]]= =2[ω,vr] - rω2 = ak+an v = vr+[ω,r] = vr+vn

Следует обратить внимание на то, что невозможно построить движение при котором ускорение материальной точки сводилось бы только к кориолисову ускорению

Восстановление уравнения движения (по заданной скорости)

П усть задан вектор скорости материальной точки как функция времени

Откуда для dr получим

И нтегрируя это уравнение в пределах от начального момента времени t₀ до любого текущего t, найдем

, где r(t₀) – радиус-вектор точки в начальный момент времени

Таким образом, мы видим, что для восстановления уравнения движения по заданной скорости необходимо знать начальное положение материальной точки