Пусть , тогда

(разность косинусов)

. Отсюда .

Переходим к пределу при , получим:

, .

Вывод: .

Производная от функции

,

Вывод: .

Производная от функции

Вывод: .

Производная сложной функции

Теорема. Если и – дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента .

Доказательство.

Дадим приращение . Тогда и получат соответственно приращения . Предположим, что при не принимает значений, равных нулю. Тогда:

(1)

Переходя к пределу в (1) получим

.

Так как функция дифференцируема, а следовательно непрерывна, то при также и . Поэтому

,

,

Производная логарифмической функции

Пусть . Возьмем и дадим ему приращение . Тогда приращение функции

,

. (*)

Для того, чтобы найти предел (*), сделаем следующее преобразования:

,

принимая во внимание, что величина – постоянная, если и обозначим :

,

.

Следовательно: (**)

, так как .

(***)

Полагая, в частности, и помня, что .

(****)

Производная степенной функции

Пусть , где .

Логарифмируя функцию , получим , возьмем производную от обеих частей

, , .

Вывод: .

Производная показательной функции

Пусть , тогда прологарифмировав правую и левую части, получим:

; продифференцируем правую и левую части

; найдём ; подставив , получим: .

Вывод: ; .

Определение. Пусть - дифференцируемая функция по . Если в этом уравнении рассматривать как аргумент, а как функцию, то новая функция , где называется обратной по отношению к данной.

Теорема 1. Для дифференцируемой функции с производной, не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, то есть

Доказательство:

Дадим приращение , тогда .

Пусть , напишем тождество (2.1)

Переходя к пределу в (2.1) при и учитывая, что при этом также (в силу непрерывности обратной функции) получим

или .

Производные от обратных тригонометрических функций

1. . Берем производные от обеих частей по : , отсюда , но

,

причем перед корнем берем знак «+», т.к. и, следовательно, положителен. Поэтому .

Вывод: .

2. .

Б еря производные от обеих частей по

или .

Но , берем знак плюс, т.к. и значит ; .

Вывод: .

3. ; ; ;

; ; .

Вывод: .

4. ;

Вывод: .

№/п	Формула	№/п	Формула
1	, где	22	, где
2	, где	23	, где ;
3	, где	24	, где ;
4		25	, где
5		26	, где
6		27	, где
7		28	, где
8		29	, где
9		30	, где
10		31	, где
11		32	, где
12		33	, где
13		34	, где
14		35	, где
15		36	, где
16		37	, где
17		38	, где
18		39	, где
19		40	, где
20		41	, где
21		42	, где