7. Бесконечные пределы функции

Определение. , если .

Определение. , если .

8. Бесконечно малые величины

Определение. Функция называется бесконечно малой при , если . Т.е. .

Бесконечно малые функции, будем называть бесконечно малыми величинами или просто бесконечно малыми.

Свойства бесконечно- малых величин

Алгебраическая сумма конечного числа б.м. при , есть величина бесконечно малая: бесконечно малая.

Произведение бесконечно малого при на функцию ограниченную в

некоторой окрестности точки а есть б.м. при : - б.м.

Произведение б.м. на постоянную величину есть величина б.м.: - б.м.

Произведение конечного числа б.м. при есть величина б.м. при .

Теорема о связи предела функции с бесконечно малой

Если имеет конечный предел, т.е., , то ее можно представить в виде , где - б.м. Обратно: Если функцию можно представить в виде , где С – число , - б.м. при , то .

Доказательство:

1 часть теоремы:

1. Пусть . Это значит .

Положим . (*) Тогда б.м. Из (*) находим: .

2 часть теоремы:

2. Пусть . (**) Т.к. - б.м., то

, но из (**) . Таким образом, нашлось для всех х из - окрестности точки а выполняется неравенство:

. Теорема доказана.

Таблица эквивалентности бесконечно малых

Пусть бесконечно малая величина при
1	Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых при , есть величина бесконечно малая: бесконечно малая.
2	Произведение бесконечно малых при на функцию ограниченную в некоторой окрестности точки есть бесконечно малая при : бесконечно малая.
3	Произведение бесконечно малая на постоянную величину есть величина бесконечно малая бесконечно малая: бесконечно малая
5	Произведение конечного числа бесконечно малых при есть величина бесконечно малая при .
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15	при малом
16

9. Бесконечно большие величины Определение. Функция называется бесконечно большой при , если , т.Е. Большого числа ,

.

Свойства бесконечно больших

1. Сумма конечного числа бесконечно больших одного знака есть величина бесконечно большая того же знака.

2. Сумма бесконечно большой при , и - ограничена в некоторой окрестности точки а, есть величина бесконечно большая.

3. Сумма бесконечно большой и постоянной есть величина бесконечно большая.

4. Произведение конечного числа бесконечно большой при , есть величина бесконечно большая.

5. Произведение бесконечно большой на функцию, имеющую конечный предел, не равный нулю, есть бесконечно большая.

6. Произведение бесконечно большой на - есть бесконечно большая.

7. Частное от деления бесконечно большой, стремящейся к а на функцию, ограниченную в некоторой окрестности точки а, есть бесконечно большая величина, стремящаяся к а. (То же с функцией, имеющей предел и ).

8. Частное от деления функции, ограниченной в некоторой окрестности точки а на бесконечно большую при , есть величина бесконечно малая при .

9. Частное от деления функции, имеющей конечный предел при , отличный от 0 на бесконечно малую при , есть бесконечно большая, пи . Частное от деления на бесконечно малые есть величина бесконечно большая.

Теорема о связи бесконечно большой и бесконечно малой величин

Если есть бесконечно большая при , то функция - есть бесконечно малая при . Обратно: Если есть бесконечно малая при , то - есть бесконечно большая величина, при .