15.6. Асимптоты линий

Определение 15.5. Прямая линия называется асимптотой, , если расстояние от точки линии до прямой стремится к нулю при . Будем различать вертикальные и наклонные асимптоты.

1) Вертикальные асимптоты графика функции находятся так,

если то - вертикальные асимптоты. (Функция, стремящаяся к исследуется в окрестности точки , т.е. или ).

2) Наклонные асимптоты.

Асимптота – это прямая, следовательно, ее уравнение , где , (15.1)

, (15.2)

Заметим, что если равенство (15.1) может осуществляться, а равенство (15.2) нет , тогда линия - асимптот не имеет.

Пример 15.6 .Дана функция . Найти асимптоты.

Вертикальная асимптота:

Наклонные асимптоты: :

Наклонных асимптот нет.

Пример 15.7. Дана функция . Найти асимптоты.

Вертикальные: - вертикальные асимптоты. Наклонные:

Следовательно, наклонные асимптоты (биссектриса I и III координатных углов).

15.7. Общая схема исследования функции

1. Область определения функции.

2. Точки разрыва и интервалы непрерывности.

3. Асимптоты.

4. Точки пересечения графика с осями координат.

5. Четность нечетность графика (симметрия графика).

6. Интервалы монотонности. Экстремумы и значения функции в экстремумах.

7. Интервалы выпуклости, вогнутости функции, точки перегиба.

Пример 15.8. Исследовать функцию и построить её график

1.

2. , точка разрыва II рода, т.к.

- интервалы непрерывности.

3. Наклонная

; .

х	0	1
у	-1	0

4. Точки пересечения графика с осями:

1. 

2. Если одна точка пересечения с осями координат.

5. Четность, нечетность.

- не является ни четной, ни нечетной, следовательно, график несимметричен ни относительно осей Ох и Оу, ни относительно начала координат .

6. Найдем производную: и приравняем ее к нулю: . критические точки; производ-ная .

О

пределим знак производной на каждом интервале:

Точка - максимум; Точка - минимум; .

7. Интервалы выпуклости, вогнутости функции, точки перегиба.

Найдем вторую производную:

Точек перегиба нет.

Т

ак как , то на промежутке функция вогнута. Поскольку , то на промежутке функция выпуклая.

Приложение производной и дифференциала алгоритмы действий.

1. Алгоритм нахождения критических точек функции.

1. Найти производную функции .

2. Найти точки, в которых или не существует.

2. Алгоритм исследования функции на монотонность.

Пусть дана дифференцируемая функция на интервале :

1. Находим ее производную .

2. Находим корни уравнения .

3. Разбиваем числовую прямую корнями на интервалы.

4. Определяем знак на каждом из интервалов.

5. Согласно признаку монотонности выносим заключение о монотонности.

3. Алгоритм исследования функции на экстремум (первое правило).

Пусть в интервале дана дифференцируемая функция .

1. Находим производную .

2. Находим критические точки , то есть точки, в которых или не существует.

3.Определяем знак слева и справа от каждой из этих критических точек.

4.Согласно первому достаточному признаку существования экстремума выносим заключение об экстремуме.

5. Вычисляем значение функции в точках экстремума.

4. Алгоритм исследования функции на экстремум (второе правило).

1. Найти .

2.Найти стационарные точки, т.е. решить уравнение .

3. Найти .

4. Вычислить значения второй производной в стационарных точках.

5. Сделать вывод об экстремуме.

Заметим, что пользоваться вторым правилом обычно проще, чем первым, но второе правило имеет более узкий круг применения, а именно:

1. Если , то в точке нельзя судить о наличии экстремума.

2. Если не существует, то тоже не существует, т.е. второй достаточный признак в этом случае тоже не применим, и нужно воспользоваться первым достаточным признаком.

5. Алгоритм исследования функции на выпуклость и точки перегиба.

1. Найти и .

2. Найти критические точки второго рода.

3. Определить знак второй производной слева и справа от критических точек.

4. Сделать заключение об интервалах выпуклости и вогнутости графика и наличии точек перегиба.

5. Вычислить значение функции в точках перегиба.

6. Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке .

1. Найти .

2. Найти точки, в которых или не существует, и отобрать из них те, которые лежат внутри отрезка .

3. Вычислить значения функции в точках, полученных в п.2, а также на концах отрезка и , и выбрать из них наибольшее и наименьшее значения: они и являются соответственно наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке .

7. Алгоритм отыскания асимптоты графика функции .

1. Вычислить . Если этот предел существует и равен , то - горизонтальная асимптота; если , то перейти ко второму шагу.

2. Вычислить . Если этот предел не существует, то асимптоты нет; если он существует и равен, то перейти к третьему шагу.

3. Вычислить . Если этот предел не существует, то асимптоты нет; если он существует и равен , то перейти к четвёртому шагу

4. Записать уравнение наклонной асимптоты в виде .

8. Алгоритм исследования и построения графика функции.

1. Найти область определения.

2. Найти вертикальные асимптоты.

3. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.

4. Исследовать функцию на четность – нечетность.

5. Исследовать функцию на периодичность .

6. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

7. Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции и точки перегиба.

8. Найти точки пересечения с осями координат

9. Найти дополнительные точки для уточнения графика.

10. Результаты исследования желательно оформить в виде таблицы.

11. Порядок исследования можно изменить исходя из конкретной функции.

12. Целесообразно исследования функции сопровождать построением графика – эскиза, и после уточнения прейти к построению точного графика.